Veracidad sobre una propuesta de las series infinitas

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Ese resultado es imposible, la serie es divergente su suma es mayor que cualquier número K de R. O dicho más llanamente la suma es infinito.

Resumiendo el vídeo dice esto:

$$\begin{align}&S_1=1-1+1-1+1-1+... = 1 \;ó\; 0 = \frac 12\end{align}$$

Eso no puede hacerse, la suma infinita no es ni 0, ni 1 ni 1/2.

Pero ese es el engaño menor que nos meten, el gordo viene de la reordenación de términos que hacen al calcular S_2

$$\begin{align}&S_2=1-2+3-4+5-6+....\\&\\&2S_2=S_2+S_2\\&\\&2S_2=1-2+3-4+5-6+....+\\&\qquad\qquad \;\;1-2+3-4+5-6+....+\\&\quad\;\; =1-1+1-1+1-1+1-....=S_1\\&\\&Luego\\&2S_2=S_1=\frac 12\\&\\&S_2=\frac 14\\&\\&S-S_2=(1-1)+[2-(-2)]+(3-3)+[4-(-4)]+....=\\&\\&0+4+0+8+0+12 + ....=4(1+2+3+...)= 4S\\&\\&S-S_2=4S\\&\\&S-\frac 14=4S\\&\\&3S=-\frac 14\\&\\&s=-\frac {1}{12}\end{align}$$

Como te decía, el engaño gordo viene de la forma en que calculan 2S_2.  En sumas finitas se puede usar la propiedad conmutativa y agrupar términos y después sumarlos, pero en la suma de una serie hay que ser estricto, el termino enesimo de la suma se obtiene sumando el primero y el segundo, luego el terero, luego el uarto y así uno por uno hasta el n.

Luego 2S_2 es

2S_2

$$\begin{align}&2S_2=2-4+6-8+10-12+...\\&\\&\sum_{i=1}^n(2S_2)= \frac n2 \text{si n es impar;}\quad -\frac n2\text{ si n es par} \end{align}$$

Y no se admite otra forma de sumar porque si tomamos sumas parciales distintas el límite de la suma de la serie cuando n tiende a infinito puede dar otro resultado.

Tampoco se pueden hacer agrupaciones tal como hice yo por error en el Facebook

$$\begin{align}&2S_2 = (2-4)+(6-8)+(10-12)+...=\\&-2-2-2-2 = -\infty\end{align}$$

con lo cual estamos tomando solo uno de los dos límites que tiene la sucesión.

En concreto, si una serie es absolutamente convergente se pueden reordenar sus términos y la serie es converge al mismo valor.

Si la serie es condicionalemente convergente pero no absolutamente entonces para todo r de R se puede hacer una reordenación de la serie tal que la suma es r.

En este ejercicio no estamos en ninguno de los dos casos sino peor todavía, no es ni absolutamente y condicionalmente convergente, hay que extremar los cuidados al hacer la operaciones y se presta a toda clase de engaños.

Y eso es todo.

Muchas ¡Gracias! Valero

Perdona, ya habrás visto que en varios sitios faltan letras. Por más que me empeñe no es culpa mía, este ordenador debe ser llevado a reparar, muchas veces no marca algunas teclas y como yo miro al teclado para escribir no me doy cuenta. O está mal o es que ahora los hacen muy malos.

Una errata del pensamiento, donde decía:

No es ni absolutamente y condicionalmente convergente

Es

No es ni absoluta ni condicionalmente convergente.