Hallar la longitud de lo siguiente - integrales
Hallar la longitud de y=x^3/6 + 1/2x
entre x=1 y x=3
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Las longitudes y superficies suelen ser los ejercicios más difíciles de aplicación de la integrales, lo normal es que no se puedan resolver con cálculo de la antiderivada por culpa de la dichosa raíz cuadrada. Deber ser ejercicios muy bien preparados para que exista esa antiderivada y aun así suelen ser difíciles. Ya viste el anterior de la superficie lateral.
La fórmula para la longitud es igual que la de la superficie pero sin el 2pi
$$\begin{align}&s=\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\\&\\&\text{tenemos}\\&a=1\\&b=3\\&y=\frac{x^3}{6}+ ...\\&\\&\text{Confírmame si es}\\&\\&a) \quad y= \frac{x^3}{6}+\frac x2\\&\\&b)\quad y=\frac{x^3}{6}+\frac 1{2x}\end{align}$$si es la opción b deberías haber escrito
y=x^3/6 + 1/(2x)
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Cordial saludo amigo Valero es la opción b que pena no haber puesto el paréntesis
Bueno entonces continuando tenemos
$$\begin{align}&y=\frac{x^3}{6}+\frac 1{2x}\\&\\&y'=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2x^2}=\frac{x^4-1}{2x^2}\\&\\&(y')^2 = \frac{x^8 -2x^4+1}{4x^4}\\&\\&\sqrt{1+(y')^2}= \sqrt{1+\frac{x^8 -2x^4+1}{4x^4}}=\\&\\&\sqrt{\frac{4x^4+x^8 -2x^4+1}{4x^4}} =\\&\\&\frac{\sqrt{x^8+2x^4+1}}{2x^2}=\frac{\sqrt{(x^4+1)^2}}{2x^2}=\\&\\&\frac{x^4+1}{2x^2}= \frac 12x^2 +\frac{1}{2x^2}\\&\\&l=\int_1^3\left( \frac 12x^2 +\frac{1}{2x^2} \right)dx=\\&\\&\left[\frac {x^3}{6}-\frac{1}{2x} \right]_1^3=\frac {27}6-\frac 16-\frac 16+\frac 12=\frac {28}6=\frac{14}{3}\end{align}$$Era una función superpreparada, por eso ha salido tan fácil.
