Encuentre las ecuaciones paramétricas de la tangente a una elipse en un punto
El elipsoide
$$\begin{align}&4x^2 + 2y^2+ z^2 = 16\end{align}$$corta el plano
$$\begin{align}&y=2\end{align}$$en una elipse. Encuentre las ecuaciones parametricas de la tangente a esta elipse en el punto (1,2,2) .
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Al estar la elipse en el plano y=2 tendremos
$$\begin{align}&4x^2+2·2^2+z^2 = 16\\&\\&4x^2+8 +z^2 = 16\\&\\&4x^2+z^2 = 8\\&\\&\text {Si derivamos implicitamente respeto de x}\\&\\&8x + 2zz' = 0\\&\\&z'=-\frac{8x}{2z}=-\frac{4x}{z}\\&\\&\text{La derivada en el punto (1,2,2) será} \\&\\&z'=-\frac{4·1}{2}=-2\\&\\&\text {esa es la pendiente de la recta tangente en el punto,}\\&\text{se corresponde al vector}\\&\\&(1,0,-2)\\&\\&\text{luego la ecuación será punto más vector por parámetro}\\&(x,y,z)=(1,2,2)+t(1,0,-2)\\&\text{en paramétricas es}\\&x=1+t\\&y=2\\&z=2-2t\end{align}$$Y eso es todo.
