Hallar los máximos y los mínimos relativos si los hay, de las ecuaciones
$$\begin{align}&f(x,y)=a \cos(x+y)+b \sin(x+y); -2\pi\leq x\leq2\pi \wedge -2\pi\leq y\leq2\pi\\&\\&f(x,y)=a \cos(x+y)^2+b \sin(x+y)^2; -2\pi\leq x\leq2\pi \wedge -2\pi\leq y\leq2\pi\end{align}$$
1 respuesta
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Hay que mandar un solo ejercicio de esta categoría por pregunta, resolveré el primero.
Hallaremos las derivadas parciales e igualandolas a 0 resolveremos el sistema de ecuaciones planteado.
$$\begin{align}&\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=-a\,sen(x+y)+b \cos(x+y)=0\\&\\&\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=-a\,sen(x+y)+b \cos(x+y)=0\\&\\&\text{ambas ecuaciones son la misma, hay infinitos puntos críticos}\\&\\&b \cos(x+y)=asen(x+y)\\&\\&\frac ba = \frac{sen(x+y)}{\cos(x+y)}\\&\\&tg(x+y)=\frac ba\\&\\&x+y=arctg \left(\frac ba\right)\\&\\&\text{Calculamos las derivadas segundas}\\&\\&\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}=-a \cos(x+y)-bsen(x+y)\\&\\&\text{Y no es difícil ver que las cuatro son iguales}\end{align}$$Luego el Hessiano será
|-acos(x+y)-bsen(x+y) -acos(x+y)-bsen(x+y)| |-acos(x+y)-bsen(x+y) -acos(x+y)-bsen(x+y)|
que vale 0 por tener dos filas iguales.
En estas circunstancias el Hessiano no nos dice nada acerca del tipo de los puntos críticos.
Pero fijémonos en una cosa. La única expresión de las variables que aparece es x+y, luego podemos considerar que la función es de una única variable u=x+y, entonces sería
f(u) = a·cosu + b·senu
f'(u) = -a·senu + b·cosu =0
b·cosu = a·senu
tgu = b/a
u=arctg(b/a) y arctg(b/a)+pi
la derivada segunda sería
f''(u)= -a·cosu - b·senu
Si a>0 y b>0
en u=arctg(b/a) tenemos f''(u)<0 máximo
en u=arctg(b/a)+pi tenemos f''(u) >0 mínimo
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Si a>0 y b<0
arctg(b/a) estará en el cuarto cuadrante con coseno positivo y seno negativo, entonces la derivada segunda tendra estos signos
f''(u) = - positivo·positivo - negativo·negativo = negativo - negativo = negativo
Luego en arctg(b/a) hay un máximo
Y arctg(b/a)+pi está en el segundo cuadrante, si haces el mismo estudio de signos de antes verás que es un mínimo.
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Si a<0 y b>0
arctg(b/a) estará en el cuarto cuadrante. El estudio de signos de la derivada segunda ahora es:
f''(arctg(b/a)) = -negativo·positivo - positivo·negativo = positivo
luego es un mínimo.
Y el máximo está en arctg(b/a) + pi
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Si a<0 y b<0
entonces arctg(b/a) está en el primer cuadrante
f''(arctg(b/a)) = -negativo·positivo - negativo·positivo = positivo
luego mínimo
y en arctg(b/a)+pi está el máximo
Resumiendo:
Si a > 0
máximo en los puntos (x,y) donde x+y=arctg(b/a)
mínimo en los puntos donde x+y=arctg(b/a)+pi
Si a < 0
mínimo en los puntos (x,y) donde x+y=arctg(b/a)
máximo en los puntos donde x+y=arctg(b/a)+pi
Pero hay que tener mucho cuidado para entender esto por el caracter cíclico de la función arcotangente y porque el resultado es un valor entre -pi/2 y pi/2.
Para empezar el valor x+y tiene estos límites
-4pi <= x+y <= 4pi
deberemos reducir x+y al intervalo [0, 2pi] sumándole o restándole multiplos de 2pi
Si el arcotangente es negativo se le deberá sumar 2pi para poder hacer la comparación x+y=arctg(b/a)
Mientras que para hacer la suma arctg(b/a)+pi no hay que convertir el arcotangente.
Te dejo como ejemplo la gráfica para
f(x,y) = sen(x+y)+cos(x+y)
Quisiera saber porque sale lo siguiente ""u=arctg(b/a) y arctg(b/a)+pi""
Gracias por la ayuda
Porque la ecuación
tg(u) = b/a
tiene dos respuestas
la una es
arctg(b/a)
que por la definición del arcotangente está comprendida entre
[-pi/2, pi/2]
y la otra
arctg(b/a) + pi que está comprendida entre
[pi/2, 3pi/2]
Tu fíjate que los ángulos que difieren en 180º tienen la misma tangente porque tienen el mismo seno y coseno con signos opuestos
tg(45º)=1
tg(225º)=1
con radianes eso es sumar pi
tg(pi/4) = 1
tg(pi/4+ pi) = 1
luego en este caso soluciones de
tg(u) = 1 son dos
artg(1) = pi/4
arctg(1)+pi = 5pi/4
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Y eso es todo.
Esta máquina está como un cencerro y se está comiendo las cosas, las frase finales se las traga, decía que esperaba que te sirviera y lo hubieras entendido y te daba saludos, pero no apareció.
Con máquina me estaba refiriendo a la página web.
¡Gracias! Ahora si todo quedo claro
Hola!
Estuve revisando nuevamente y se me creo una duda según creo existen más puntos máximos y mínimos como por ejemplo
$$\begin{align}&u=\arctan\frac{b}{a}\pm\pi\\&u=\arctan\frac{b}{a}\pm3\pi\\&u=\arctan\frac{b}{a}\pm2\pi\end{align}$$quisiera que me aclare esta duda
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Pues sí, lo reduje todo a un ciclo. Tengamos en cuenta que el dominio de la función es:
-2pi <= x <= 2pi
-2pi <= y <= 2pi
luego para la variable única x+y el dominio es
-4pi <= x+y <= 4pi
Entonces por cada máximo que te dije antes añade los que surjan sumado 2pi y 4pi, siempre que no se exceda 4pi; y los que surjan restando 2pi y 4pi siempre que al resultado no sea menor de 4pi.
Y para cada punto de mínimo haz lo mismo.
Esta es la grafica de cos(x+y)+sen(x, y) como la anterior con todos los puntos. Si fuera con una constante a o b negativa tendríamos una linea de máximos menos por la izquierda y una más por la derecha.
Y eso es todo, saludos.
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