Se tiene que GxH≅ HxG. Demuestre que efectivamente la aplicación φ=GxH→HxG es un isomorfismo.
Me dá gusto saludarlo, esta es la pregunta.
Como contexto: a partir de la definición de productos directos externos de H y K, denotado por HK, con el conjunto de pares ordenados (h, k) tales que h pertenece a H, y k pertenece a K, se menciona que GxH es isomorfo a HxG. Demuestre que efectivamente la aplicación φ=GxH→HxG, es un isomorfismo.
1 respuesta
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¡Hola Lucina!
Supongo que esa aplicación φ se define así
φ: GxH ----> HxG
φ(g, h) = (g,h)
Es inyectiva:
φ(g1, h1) = φ(g2, h2)
(h1, g1) = (h2, g2)
h1=h2 y g1=g2
(g1,h1) =(g2,h2)
Es sobreyectiva:
dado (h, g) de HxG tomamos (g,h) de GxH y entonces
φ(g, h)= (h,g)
Luego es biyectiva, lo que se necesita para que sea isomorfismo.
Ademas hay que demostrar que es un morfismo de grupos:
φ((g1, h1)·(g2,h2)) = φ(g1, h1) · φ(g2, h2)
vamos con ello
φ((g1, h1)·(g2,h2)) = φ(g1·g2, h1·h2) = (h1·h2, g1·g2)
φ(g1, h1) · φ(g2, h2) = (h1, g1) · (h2, g2) = (h1·h2, g1·g2)
Las dos líneas valen lo mismo, luego es un morfismo biyectivo, por tanto un isomorfismo.
Y eso es todo.
¡Gracias Maestro Valero.
Fallé en la definición, espero que te hayas dado cuenta, la definición correcta es:
φ: GxH ----> HxG
φ(g, h) = (h, g)
No había intercambiado los elementos en la imagen.
Lo demás estaba bien.
Se come todos los saludos la máquina esta, lo siento.
