Limites trigonométricos dos ejercicios de mi practica

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¡Hola Sheyla!

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$$\begin{align}&\lim_{x\to1}\frac{\cos  \left(\frac{\pi}{2}x\right)}{x-1}=\frac{0}{0}\quad \text{indeterminación}\\&\\&\text{Aplicamos la regla de l'Hôpital, derivando}\\&\text{numerador y denominador por seaparado}\\&\\&\lim_{x\to1}\frac{\cos\left( \frac{\pi}{2}x\right)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{-\frac  \pi 2 sen \left(\frac \pi 2 x\right)}{1}=-\frac \pi 2\\&\\&\\&\\&-------------------\\&\\&\\&\lim_{x\to1}\frac{\cos  \left(\frac{\pi}{2}x\right)}{1-x^2}=\frac 00=\text{indeterminación}\\&\\&\text {hacemos lo mismo de antes}\\&\\&\lim_{x\to1}\frac{\cos\left( \frac{\pi}{2}x\right)}{1-x^2}=\lim_{x\to 1}\frac{-\frac  \pi 2 sen \left(\frac \pi 2 x\right)}{-2x}=\frac{\frac{-\pi}{2}}{-2}=\frac{\pi}{4}\end{align}$$

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Muchas gracias por su respuesta, aún no llevo l'Hopital, tengo utilizar los limites fundamentales:

                       sen X

Lim         ----------------------  = 1

x->0                   X

                       1 - cos X

Lim         ---------------------- = 0

x->0                   X

Como podría hacerlo utilizando estas fórmulas, muchas gracias de nuevo.

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Pues vaya contratiempo.

$$\begin{align}&\lim_{x\to1}\frac{\cos  \left(\frac{\pi}{2}x\right)}{x-1}=\\&\\&\text{hagamos t=x-1}\\&\\&\lim_{t\to 0}\frac{\cos  \left(\frac{\pi}{2}(t-1)\right)}{t}=\\&\\&\lim_{t\to 0}\frac{\cos  \left(\frac{\pi}{2}t-\frac \pi 2\right)}{t}=\\&\\&\lim_{t\to 0}\frac{\cos \frac{\pi t}{2}·\cos \frac \pi 2+sen \frac{\pi t}{2}·sen \frac \pi 2}{t}=\\&\\&\lim_{t\to 0}\frac{sen \frac{\pi t}{2}}{t}=\\&\\&\text{multiplico y divido por }\frac \pi 2 \\&\\&=\lim_{t\to 0}\frac{\frac \pi 2sen \frac{\pi t}{2}}{\frac{\pi t}{2}}\\&\\&\text{Hago el cambio }u=\frac{\pi t}{2}\\&\\&=\frac \pi 2·\lim_{u \to 0}\frac{sen\,u}{u}=\frac \pi 2·1 = \frac \pi 2\end{align}$$

Tengo un problema con el ordenador, mando la respuesta porque tengo que cerrar el navegador, luego resuelvo el otro.

Saludos.

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