Hallar la ecuación de la parábola p2
Dada la parábola p1: y= a1 (x-2)^2 hallar la ecuación de la parábola p2 que pasa por el punto Q=(0;5) y tiene el mismo vértice que p1 ¿Cuál es el valor de a1 si a2= 2a1?
Respuesta de Lucas m
1
Sol no!
Método 1:
si sabes que la parábola y=a_1(x-2)^2 es una traslación horizontal a la derecha de la párabola y=a_1x^2, quiere esto decir que el vértice es V=(2,0)
Como la segunda parábola tiene el mismo vértice quiere eso decir que tambien es de la forma y=a_2(x-2)^2
Como pasa por el punto (0,5) ==> f_2 (0)=5==> 5=a_2(0-2)^2 ==> 5=4a_2 ==> a_2=5/4
p_2: y=5/4 ·(x-2)^2
a_1=a_2/2=5/8
Método 2: Desarrollando la ecuación de la parábola y aplicando la fórmula del vértice:
$$\begin{align}&y=a_1(x-2)^2=a_1(x^2-4x+4)=a_1x^2-4a_1x+4a_1\\&\\&x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{4a_1}{2a_1}=2 \Longrightarrow y_v=f(2)=a_1(2-2)^2=0\\&\\&V=(2,0)\\&\\&f_2=a_2x^2+b_2x+c_2\\&\\&Pasa \ por \ (0,5) \Longrightarrow f_2(0)=5 \Longrightarrow c_2=5\\&\\&Tienen \ el \ mismo \ vértice:\\&x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-b_2}{2a_2}=2 \Longrightarrow b_2=-4a_2\\&Luego \ la \ segunda \ parábola \ es \ del \ tipo:\\&y=a_2x^2-4a_2+5\\&\\&V=(2,0) \Longrightarrow f_2(2)=0 \Rightarrow0=4a_2-8a_2+5 \Rightarrow4a_2=5 \Rightarrow\\&\\&a_2=\frac{5}{4} \Rightarrow b_2=-4a_2=-5\\&\\&Luego \ la \ segunda \ parábola \ es:\\&y=\frac{5}{4}x^2-5x+5\\&\\&a_1=\frac{a_2}{2}=\frac{5}{8}\end{align}$$
