¿Que hago con la raíz como la ocupo en esta integral?
Ya se que se resuelve por medio del método de sustitución trigonométrica, pero no se que hacer con la raíz, espero y puedan auxiliarme y explicarme.
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_________ dx
x^3√x^2 - 1
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Fer!
Si dices que se hace por sustitución trigonométrica la única posible es esta
$$\begin{align}&\int \frac{2}{x^3 \sqrt{x^2-1}}dx=\\&\\&x=sec\,u\\&dx=sec\,u ·tg\,u\;du\\&\\&2\int \frac{sec\,u·tg\,u}{sec^3u\, \sqrt{sec^2u-1}}du=\\&\\&2\int \frac{tg\,u}{sec^2u\, \sqrt{\frac{1}{\cos^2u}-1}}du=\\&\\&2\int \frac{tg\,u}{sec^2u\, \sqrt{\frac{1-\cos^2u}{\cos^2u}}}du=\\&\\&2\int \frac{tg\,u}{sec^2u\, \sqrt{\frac{sen^2u}{\cos^2u}}}du=\\&\\&2\int \frac{tg\,u}{sec^2u\, \sqrt{tg^2u}}du=\\&\\&2\int \frac{tg\,u}{sec^2u·tg\,u}du=\\&\\&2\int \frac{du}{sec^2u}du=\\&\\&2\int \cos^2u\; du=\\&\\&2 \int \frac{1+\cos 2u}{2}du=\\&\\&u+\frac{sen 2u}{2}+C=\\&\\&arc sec\,x+\frac{sen(2arc sec x)}{2}+C=\\&\\&arccos \frac 1x+sen\left(arccos \frac 1x\right)\cos\left(arccos \frac 1x\right)+ C=\\&\\&arccos \frac 1x+ sen\left(arcsen \sqrt{1-\frac 1{x^2}} \right)·\frac 1x+C=\\&\\&arccos \frac 1x+\frac 1x \sqrt{1-\frac 1{x^2}}+C=\\&\\&arccos \frac 1x+\frac 1x \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}+C=\\&\\&arccos \frac 1x+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}+C\end{align}$$Dependiendo del que haga y cómo haga la integral te la pueden dar como un arcoseno o un arcotangente en lugar de este arcocoseno, siendo todas válidas.
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