¿Cómo resuelvo esta ecuación de triángulos?

En este caso se ve claro que los dos triángulos que divide el segmento BD son iguales, por tanto por lógica el segmento AD = DC y el segmento AB = BC, pero vamos a calcularlo:

Cos(a) = h / 2x -> siendo h la altura del triangulo y a alfa.

cos(a) = h / 5y + 2 

por lo tango h / 2x = h / 5y + 2

por tanto 2x = 5y + 2, que es lo que habiamos dicho, que AB = BC

Haciendo lo mismo con los otros segmentos nos queda que por = 3y, y con esto ya tenemnos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Solo queda despejar

2(3y) = 5y +2 -> 6y = 5y +2 -> y =2

x = 3(2) -> x= 6

Te lo voy a resolver sin meter al coseno en el medio.

Con los datos que te da de los ángulos, se puede deducir que el triángulo es isósceles y los triángulos rectángulos tienen las mismas dimensiones .

De esto podemos saber que

AB = BC

AD=DC

o expresado en términos de x,y

2x = 5y + 2

x = 3y

Y ya tenés un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, así que podés resolver por cualquier método. En particular voy a usar el valor de x de la segunda ecuación y sustituirlo en la primera para tener

2 (3y) = 5y + 2

6y = 5y+2

y = 2

Reemplazando en la segunda ecuación

x = 3(2) = 6

o sea que la solución es:

x = 6, y = 2