Como conseguir las raíces restantes sabiendo una de las raíces

Se sabe que todas las raices tendran el mismo módulo. Lo que no me queda clar es si la raíz incluye a i o no (entiendo que no).

Voy a intentar resolverlo, suponiendo que "i" está fuera de la raíz, de esta forma

$$\begin{align}&w=1-i \sqrt{3}\\&\text{Las otras raices tendran el mismo módulo y variará el argumento}\\&|w| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\\&\text{Los argumentos de la raíz seran de la forma}\\&Arg(raiz) = \frac{\theta+2k \pi}{5}.................(k=0,1,2,3,4;\ \theta=\ Arg(z))\\&\text{La raíz que tenemos, tiene como argumento}\\&Arg(w)=ArcTan \bigg(\frac{\sqrt{3}}{1}\bigg) = 60° (ó \ \pi/3)\\&\text{Veamos para los 5 valores de k (y si es necesario ajustando el resultado entre 0 y 2}\pi)\\&Sup\ k=0:\\&\frac{\pi}{3}=\frac{\theta}{5} \therefore \theta=\frac{5 \pi}{3}\\&\text{calculando todos los argumentos:}\\&k=0: \frac{\theta}{5} + \frac{2 \cdot 0\cdot  \pi}{5} = \frac{\pi}{3} + \frac{2 \cdot 0\cdot  \pi}{5} = \frac{\pi}{3}\\&k=1: \frac{\theta}{5} + \frac{2 \cdot 1\cdot  \pi}{5} = \frac{\pi}{3} + \frac{2 \pi}{5} = \frac{11 \pi}{15}\\&k=2: \frac{\theta}{5} + \frac{2 \cdot 2\cdot  \pi}{5} = \frac{\pi}{3} + \frac{4  \pi}{5} = \frac{17 \pi}{15}\\&k=3: \frac{\theta}{5} + \frac{2 \cdot 3\cdot  \pi}{5} = \frac{\pi}{3} + \frac{6  \pi}{5} = \frac{23 \pi}{15}\\&k=4: \frac{\theta}{5} + \frac{2 \cdot 4\cdot  \pi}{5} = \frac{\pi}{3} + \frac{8  \pi}{5} = \frac{29 \pi}{15}\\&\text{Sabemos que cada complejo será de la forma:}\\&w = |w| (\cos(angulo) + i sen(angulo))\\&\text{Verificamos para el de k=0 (que sabemos cuanto da) y luego calculamos todos:}\\&w_0= 2(\cos(\pi/3) + i\ sen(\pi/3)) = 2 ( 0.5 + i \sqrt{3}/2) = 1+i\ \sqrt{3} ...(como\ sabíamos)\\&w_1= 2(\cos(\frac{11 \pi}{15}) + i \ sen(\frac{11 \pi}{15})) =-1.3383+i\ 1.4863\\&w_2= 2(\cos(\frac{17 \pi}{15}) + i \ sen(\frac{17 \pi}{15})) =-1.8271-i\  0.8135\\&w_3= 2(\cos(\frac{23 \pi}{15}) + i \ sen(\frac{23 \pi}{15})) =0.2091-i\  1.9890\\&w_4= 2(\cos(\frac{29 \pi}{15}) + i \ sen(\frac{29 \pi}{15})) =1.9563-i\  0.4158\end{align}$$

Te dejé los 5 valores de las raíces, te queda multiplicarlas para hallar el valor de z

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¡Hola Peri!

Si esa es una raíz qunta es obvio que elevándola a la 5 obtendremos z. No sería muy complicado calcularlo por el binomio de Newton, pero pienso que quieren que lo hagas en forma polar

El módulo es fácil de calcular con la fórmula

sqrt(1^2+3) = sqrt(4) = 2

El ángulo tiene tangente

-sqrt(3)/1 = -sqrt(3)

y está en el cuarto cuadrante, es el ángulo 300º ya que

sen(300º) = -sqrt(3)/2

cos(300º) = 1/2

tg(300º) = -[sqrt(3)/2] / (1/2) = -sqrt(3)

luego la raíz quinta tiene módulo 2 y ángulo 300º con lo cual

z tiene módulo 2^5=32 y ángulo 300º·5=1500º= 60º

en binomial es

z=32(cos 60º + i·sen 60º) = 16 + 16·sqrt(3)·i

Por lo tanto las raíz primera:

r1:  mod 2  ángulo 60º/5 =12º

y las siguientes se obtinen sumando sucesivamente 360º/5=72º

r2:  mod 2 ángulo 12º+72º = 84º

r3: mod 2 ángulo 84º+72º = 156º

r4: mod 2 ángulo 156º+72 = 228º

r5: mod 2 ángulo 228º+ 72ª = 300º

Y con eso valdría. Si los necesitas en binomial usas la fórmula trigonométrica para calcularlos

r1:  2(cos 12º + i·sen 12º) = 1.9562952 + 0.415823381i

r2: 2(cos 84º + i·sen 84º)  = 0.2090569 + 1.98904379i

r3: 2(cos156º +i·sen156º) = -1.8270909 + 0.813473286i

r4: 2(cos228º +i·sen228º) = -1.3382612 - 1.48628965i

r5: 2(cos300º +i·sen300º) = 1  - sqrt(3)·i

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Estas son las que están bien, las de Gustavo tienen bailado el signo de la i y la expresión trigonométrica no corresponde con la binómica ya que deberían ser los ángulos Pi/15, 7pi/15, 13pi/15, 19pi/15, 25ì/15

Saludos.

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