Como puedo encontrar el vértice, raíces, rango y dominio de las siguientes funciones

Son demasiados ejercicios para una sola pregunta. Te haré el primero y espera que otro experto te resuelva los otros, o haz nuevas preguntas por separado:

$$\begin{align}&2y-4x^2+3=2\\&Despejamos\ "y"\\&y = \frac{4x^2-1}{2}=2x^2-\frac{1}{2}\\&Vertice: \\&x_v = \frac{-b}{2a}=\frac{-0}{2\cdot 2}=0\\&y_v = f(x_v)=2\cdot 0^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\\&Raices:\\&f(x)=0 \to 0 = 2x^2-\frac{1}{2}\\&x_{1,2}= \pm \sqrt{\frac{1}{4}}= \pm \frac{1}{2}\\&Dominio: R \text{ (la función es un polinomio, y como tal no tiene restricción en su dominio)}\\&Rango: \text{ La función es una parábola con coeficiente principal positivo (2), así que las ramas están hacia arriba,}\\&\text{por lo tanto el rango es desde } y_v \text{ hasta }+\infty\\&Rango = [-\frac{1}{2},+\infty)\end{align}$$

--

¡Hola Juan Duque!

Yo hago el segundo.

$$\begin{align}&y+1=(x-3)^2\\&y = (x-3)^2-1\\&\\&\text{El vértice está donde esté el mínimo o máximo}\\&\text{Eso será cuando}\\&(x-3)^2=0\\&x-3=0\\&x=3\\&\text{Será el punto }(3,-1)\\&\\&\\&\text{Para calcular las raíces en lugar de quitar el}\\&\text{paréntesis usamos que es una diferencia de cuadrados}\\&\\&y=(x-3)^2-1 = (x-3+1)(x-3-1)=\\&\qquad (x-2)(x-4)\\&\\&\text{Luego las raíces son: } 2 \;y\; 4 \\&\\&\\&\text{Es un polinomio, el dominio es todo R }\\&\\&\text{Tratándose de un polinomio de grado 2, }\\&\text{el rango va desde el límite en infinito hasta el vértice}\\&\\&\lim_{x\to \infty}(x-3)^2-1= \infty\\&\\&\text{La coordenada y del vertice ya vimos que era -1}\\&\\&Rango f =[-1, \infty)\end{align}$$

--

--