Demostrar que un grupo es subgrupo de otro grupo abeliano.

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¡Hola Amo Mo!

Lógicamente, para demostrar que un subconjunto es un subgrupo se usa el teorema de caracterización de subgrupos.

1) H es no vacío ya que contiene el elemento neutro

2) Sean a y b de H, tomamos el elemento ab', donde b' significa el inverso de b, veamos que b' es de H. Para ello hay que ver que ab' es de orden dos, o sea demostrar que

(ab')·(ab')=1

No perderé tiempo en los pasos de la asociativa, direectamente todos paréntesis fuera

ab'ab' =

como es grupo abeliano

= aab'b' =

a es de H luego tiene orden 2, por tanto

= 1·b'b' = b'b'=

b' es el inverso de un elemento b de orden 2 luego

bb = 1

multiplicando por b'

b'bb = b'

1·b=b'

b=b'

luego

bb = b'b' = 1

y la igualdad que dejamos hace un rato queda

=1

Luego resumiendo

(ab')·(ab') = 1

Luego ab' es de orden 2 y por lo tanto pertenece a H

Y con estas dos condiciones cumplidas se tiene que H es un subgrupo de G.

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