Encontrar tres números positivos que al sumarlos...
Quisiera entender cómo se realiza el siguiente ejercicio:
Encontrar tres números positivos que al sumarlos den como resultado 24 de tal manera que su producto P sea un máximo.
Respuesta de Ruthless Zerstörer
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Mila!
Hay que maximizar la función
f(x,y,z) = xyz
sujeta a la restricción
x+y+z = 24
esto se toma como una función con la parte izquierda igualada a 0
phi(x,y,z) = x+y+z-24
Y para calcular los puntos críticos se usan los multplicadores de Lagrange que dicen que dado un valor lambda los puntos críticos satisfarán estas 4 ecuaciones
$$\begin{align}&\frac{\partial}{\partial x}(f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z))=0\\&\\&\frac{\partial}{\partial y}(f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z))=0\\&\\&\frac{\partial}{\partial z}(f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z))=0\\&\\&x+y+z-24=0\\&\\&Sustituyendo \\&f(x,y,z)=xyz\\&\varphi(x,y,z)=x+y+z-24\\&\\&tendremos\\&yz + \lambda=0\\&xz +\lambda=0\\&xy+\lambda=0\\&x+y+z-24=0\\&\\&\text{de las tres primeras se deduce}\\&-\lambda =yz=xz=xy\\&\\&\text{Y de eso se deduce}\\&x=y=z\\&\\&\text{llevándolo a la cuarta}\\&3x-24=0\\&x=8\\&\\&\text{luego}\\&\\&x=y=z=8\end{align}$$Luego son los tres números 8 los que maximizan el producto.
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