Tasa de cambio y criterio de la derivada
Expertos muy buenas noches, espero me puedan apoyar con este ejercicio, la verdad no le entiendo mucho que digamos agradezco mucho su atencion al respecto.
La empresa el condorito se dedica a la venta de muebles de baño cuyo costo total en función de la demanda está dada por f(x) = x3 – x + 1, analice y conteste con precisión lo que se le solicita a continuación conforme a las fases.
- Determinar la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad demandada.
- Determinar el costo de 100 muebles.
- Determinar la función de costo marginal.
- Determinar valores máximos y mínimos de la función.
- Determinar los puntos de inflexión de la función (si es que existieran).
1 Respuesta
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¡Hola Jorge!
Suele ser mejor llamar CT a la función costo total
CT(x) = x^3 - x + 1
1)
La función de la tasa de cambio respecto de la cantidad es la derivada de la función respecto de la cantidad
CT'(x) = 3x^2 - 1
2)
Sustituimos 100 en la función costo total
CT(100) = 100^3 - 100 + 1 = 1000000 - 100 + 1 = 999899
3)
El costo marginal es la derivada de la función costo, lo mismo que ya se calculo en el primer apartado
Cmarg(x) = CT'(x) = 3x^2 - 1
4)
Los valores máximo y mínimo anulan la derivada primera, luego
3x^2
$$\begin{align}&3x^2-1=0\\&\\&3x^2=1\\&\\&x^2=\frac 13\\&\\&x=\pm \frac{1}{\sqrt 3}\\&\\&\text{A algún profesor le dará algo si no racionalizamos}\\&\\&x=\pm \frac{\sqrt 3}{3}\\&\\&\text{En realidad el valor } x=-\frac{\sqrt 3}{3} \text{no tiene sentido}\\&\text{nosotros exigimos que la producción sea positiva}\\&\\&\text{Calculamos la derivada segunda}\\&\\&CT'(x)= 6x\\&\\&\text{Hay máximo en } x=-\frac{\sqrt 3}{3} \text{ y mínimo en } \frac{\sqrt 3}{3} \\&\\&Máx=\left( -\frac{\sqrt 3}{3} \right)^3+\frac{\sqrt 3}{3}+1=-\frac{\sqrt 3}{9}+\frac{\sqrt 3}{3}+1=\\&\\&\qquad \frac{2 \sqrt 3}{9}+1\approx 1.3849\\&\\&Mín=\left( \frac{\sqrt 3}{3} \right)^3-\frac{\sqrt 3}{3}+1=\frac{\sqrt 3}{9}-\frac{\sqrt 3}{3}+1=\\&\\&\qquad -\frac{2 \sqrt 3}{9}+1\approx 0.6151\end{align}$$5)
Calculamos los puntos donde se anula la derivada segunda
CT''(x) = 6x
Luego se anula en x=0
Ahora vemos si la derivada tercera es distinta de 0
CT'''(x) = 6
Lo es, luego x=0 es un punto de inflexión, el punto de gráfica es (0, 1)
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¡Gracias! Profesor Valero, me fue de muchísima utilidad su razonamiento al respecto y que bueno que existan estos sitios de apoyo.
Realmente agradezco que me haya compartido sus conocimientos.
Saludos.
