Indique el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación:

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¡Hola Luis Alberto!

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(x-5)^5 + (x-4)^4 = 1

Para simplificar las cuentas vamos a hacer primero este cambio de variable

y = x-5   o bien   x=y+5

con ello queda la ecuación equivalente

(y+5-5)^5 + (y+5-4)^4 = 1

y^5 + (y+1)^4 = 1

Y ahora vamos a ver que solo puede tener la respuesta y=0 estudiando trozo a trozo toda la recta real

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a) Si -infinito < y < -1 tendremos

y^5 negativo

(y+1)^4 positivo, pero en cualquier caso hay que tener en cuenta estas dos cosas que suceden

|y|>1

|y|>|y+1|  ya que y+1 está más cerca de cero por la izquierda que y

tenemos que por ser |y|>1

|y|^5 > |y|^4

y por ser |y|>|y+1|

|y|^4 > |y+1|^5

encadenando las dos desigualdades llegamos a

|y|^5 > |y+1|^4

Por lo que el primer término y^5, que es negativo, es más negativo que lo que tiene de positivo es el segundo (y+1)^4

-y^5 > (y+1)^4

y^5 < -(y-1)^4

y^5 +(y-1)^4 < 0

por lo que no puede haber respuesta en (-intinito, -1)

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b)

-1<= y < 0

entonces sumando 1

0 <= y+1 <1

y tendremos estas dos cosas

-1 <= y^5       < 0

0  <= (y+1)^4 < 1

con lo cual sumándolas

-1 <= y^5 + (y+1)^4  < 1

y por lo tanto no puede llegar al valor 1 y no hay respuesta

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c)

y=0

No cabe duda, es la respuesta

0^5 +(0+1)^4 = 0+1 = 1

luego la respuesta es y=0 que equivale a x=0+5 = 5

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d)

0 < y < infinito

entonces tenemos

0 < y^5

1 < y+1  ==> 1 < (y+1)^4

por lo cual sumando la de arriba con la de abajo a la derecha

1 < y^5 + (y+1)^4

Y no puede haber respuesta.

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Y esos son todos los casos posibles y la única respuesta que se ha dado es y=0 equivalente a x=5.

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Y eso es todo.