Resolver ecuaciones diferenciales por diferentes métodos

Has de mandar un ejercicio por pregunta, y votar todas las respuestas.

Te hago la segunda:

Muchas ecuaciones diferenciales se pueden resolver fácilmente con solo manipular la expresión algebraica y separando variables :

$$\begin{align}&e^{-y}+e^{-2x-y}=e^xy \frac{dy}{dx}\\&\\&e^{-y} \Big(1+e^{-2x} \Big)=e^xy \frac{dy}{dx}\\&\\&e^{-x}(1+e^{-2x})=ye^ydy\\&Integrando\\&\\&\int e^{-x}(1+e^{-2x})dx=\int ye^ydy\\&\\&\int ( e^{-x}+e^{-3x})dx=\int ye^ydy=uv- \int u'v=\\&\int ye^ydy= (por \ partes)\\&u=y \Longrightarrow u'=1\\&v'=e^y \Longrightarrow v=e^y\\&\\&=ye^y-e^y\\&\\&-e^{-x}-\frac{e^{-x}}{3}=ye^y-e^y+C\end{align}$$

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¡Hola Albert!

Yo haré también la segunda. Pedimos un ejercicio por pregunta y en ecuaciones diferenciales deberíamos pedir medio, luego nunca dos.

Manda la ecuación primera en otra pregunta y vota antes todas las respuestas que has recibido.

$$\begin{align}&e^{-y}+e^{-2x-y}=e^xy \frac{dy}{dx}\\&\\&e^{-y}+e^{-2x}e^{-y}=e^xy \frac{dy}{dx}\\&\\&e^{-y}(1+e^{-2x})=e^xy \frac{dy}{dx}\\&\\&\frac{1+e^{-2x}}{e^x}dx=\frac{y}{e^{-y}}dy\\&\\&(e^{-x}+e^{-3x})dx=y·e^y\;dy\\&\\&-e^x-\frac 13e^{-3x}+C=\int ye^ydy\\&\\&\text{hacemos la integral por partes}\\&\\&u=y\qquad\qquad du=dy\\&dv=e^y dy\,\qquad v=e^y\\&\\&I=ye^y-\int e^ydy = ye^y-e^y\\&\\&\text{luego la respuesta es}\\&\\&e^y(y-1)=-e^x-\frac 13e^{-3x}+C\end{align}$$

que se deja así porque es imposible depejar la y.

Y eso es todo, saludos

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