Como se resuelve esta integral indefinida

$$\begin{align}& \end{align}$$

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¡Hola Juna!

Es que esta integral es complicada, solo se me ocurre resolverla con el cambio trigonométrico universal y eso es siempre costoso. Imagino que habrás dado ese cambio y en la teoría tendrás por lo que tienes que sustituir senx, cosx y dx porque yo no lo voy a demostrar.

$$\begin{align}&I=\int \frac{1}{senx+cosx}dx=\\&\\&tg \frac x2=t\implies x=2 arctg\,t\\&\\&senx=\frac{2t}{1+t^2}\\&\\&cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\&\\&dx=\frac {2dt}{1+t^2}\\&\\&=\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}·\frac {2dt}{1+t^2}=\\&\\&=\int \frac{2dt}{2t+1-t^2}=\int \frac{ -2dt}{t^2-2t-1}=\\&\\&t=\frac{2\pm \sqrt{4+4}}{2}=1\pm \sqrt 2\\&\\&\text{la descomponemos en fracciones simples}\\&\frac a{t-1-\sqrt 2}+\frac {b}{t-1+\sqrt 2}\\&\\&(a+b)t-a-b+a \sqrt 2-b \sqrt 2=-2\\&\\&a+b=0 \implies a=-b\\&-a-b+a \sqrt 2-b \sqrt 2=-2  \implies-2b \sqrt 2=-2\\&b=-\frac{\sqrt 2}{2}\\&a=\frac {\sqrt 2}{2}\\&\\&I=\frac{\sqrt 2}{2}ln(t-1-\sqrt 2)-\frac{\sqrt 2}{2}ln(t-1+\sqrt 2)+C=\\&\\&\frac {\sqrt{2}}{2}ln \bigg(tg \frac x2-1-\sqrt 2\bigg)-\frac {\sqrt{2}}{2}ln \bigg(tg \frac x2-1+\sqrt 2\bigg)+C\end{align}$$

Y cosnseguir representar eso en función de senos y cosenos es muy difícil, se deja así.

Y eso es todo. Saludos.

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