Análisis Matemático: Prueba que la función f:[0,1] R definida mediante
Demostrar que el límite de la suma inferior y la superior coinciden
1 Respuesta
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¡Hola Lawra!
¿Se puede usar el criterio de Lebesgue?
Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann
Sea f una función definida y acotada en [a,b] y sea D el conjunto de las discontinuidades de f en [a,b]. Entonces f
(con
el conjunto de las funciones Riemann integrables) en [a,b] si, y solo si, D tiene medida cero.
(con 
el conjunto de las funciones Riemann integrables) en [a,b] si, y solo si, D tiene Ya que entonces la demostración se limitaria a demostrar que la función es continua en los irracionales, ya que los racionales tienen medida 0. Y sé que es cierto que la función es continua en los irracionales, aunque no me acuerdo cómo se hacía.
Saludos.
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Sea x0 un número irracional. Dado un épsilon>0 si es racional será de la foma
épsilon = r = p/q con (p,q)=1
Y si épsilon no es racional, por ser los racionales densos en R existe un racional r=p/q con (p, q)=1 tal que
0 < r < épsilon
Los puntos de [0,1] donde f(x) >= 1/q son finitos ya que serán el conjunto de puntos
C={1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4, ..., 1/q, 2/q, 3/q, (q-1)/q}
todo punto m/n con (m,n)=1 donde n>q tiene f(m/n) =1/n <1/q
Formamos el conjunto de las distancias de estos puntos (con f(x) "grande") a x0
D={|1-x0|, |1/2-x0|, ..., |(q-1)/q-x0|}
Es un conjunto finito y todos los elementos son mayores que 0, ya que x0 es irracional.
Entonces existe una distancia que es mínima y distinta de 0,
d=min D
Si tomamos como delta esa distancia mínima , tendrás que dentro del intervalo
0 <|x-x0| < delta
no hay ningún punto x tal que f(x) >=1/q luego f(x)<1/q
Vamos a ver ahora que tomando x en ese intervalo de radio delta de x0 se cumple |f(x)-f(x0)|<epsilon
Sea x tal que 0<|x-x0|< delta
Si x es irracional tendremos
|f(x)-f(x0)| = |0-0|=0 < epsilon
Si x es racional
|f(x) - f(x0)| = |f(x)-0|= |f(x)| < 1/q <= p/q <= epsilon
notese que hay una desigualdad estricta |f(x)|<1/q luego
|f(x)-f(x0)|<epsilon
Luego para los irracionales
lim x-->xo de f(x) = 0 = f(x0)
Y la función es continua en los irracionales.
En los racionales podríamos ver que la función es discontinua en todos pero no lo necesitamos comprobar. El conjunto de puntos de discontinuidad es a lo sumo los racionales y tiene medida 0 y por el criterio de Lebesgue f(x) es Riemann integrable.
Y eso es todo, no sé si lo habré explicado bien pero no es muy difícil, saludos.
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Por cierto, no me había fijado que f(0)=1 pero se soluciona fácil, el punto x=0 no debe pertenecer al intervalo (x0-delta, x0+delta), luego si para el delta que se calcula tal como hice antes se cumple que
X0 - delta<0
entonces tomaremos delta=x0
Con ello x=0 ya no está en el intervalo y no hay en él ningún punto x tal que f(x) >= 1/p
