Resolver la ecuación diferencial hallando el factor integrante

La ecuación es del tipo:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Primero comprobaremos que no es diferencial exacta:

$$\begin{align}&\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\\&Notación:\\&\frac{\partial M}{\partial y}=M_y\\&\frac{\partial N}{\partial x}=N_x\\&\\&6xydx+(4y+9x^2)dy=0\\&M_y=6x\\&N_x=18x\\&M_y \neq N_x  \ \ (No \ es \ diferencial \ exacta)\\&\\&Factor \ integrante \ tipo \  F(y)=e^{\int p(y)dy}\\&\\&\int p(y)dy=\int \frac{N_x-M_y}{M}dy= \int \frac{12x}{6xy}dy=2 \int \frac{1}{y} dy=2lny=lny^2\\&\\&Factor \ integrante:  \ F(y)=e^{lny^2}=y^2\\&\\&Multiplicando \ ED \ por \ F(y):\\&6xy^3dx+(4y+9x^2)y^2dy=0\\& Comprobamos \ que \ es \ diferencial \ exacta:\\&M_y=18xy^2\\&N_x=18xy^2\\&Si.\ Luego \ existe \ \psi(x,y) \ \ tal \ que:\\&\psi_x=6xy^3  \ \ \ \ \ y  \ \ \ \psi_y=4y^3+9x^2y^2    \ \ \ (*)\\&\Longrightarrow\\&\psi(x,y)= \int 6xy^3dx+h(y)=6y^3 \frac{x^2}{2}+h(y)=3y^3x^2+h(y) \Rightarrow\\&\psi_y=\frac{\partial \psi}{\partial y}=9y^2x^2+h'(y) \ \ \ (**)\\&Igualando (*) \ y (**)  \Longrightarrow\\&h'(y)=4y^3 \Rightarrow h(y)=\int 4y^3 dy=y^4\\&\\&Luego \ solución:\\&\\&\psi(x,y)=3y^3x^2+y^4\\&\end{align}$$

·

·

¡Hola Jdrg1115!

·

La forma canónica es:

$$\begin{align}&M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0\\&\\&\text{Sería una diferencial exacta si } M_y=N_x\\&\\&6xydx + (4y+9x^2)dy=0\\&\\&M_y=6x\\&N_x=18x\\&\\&M_y-N_x=-12x\\&\\&\text{Y vemos que}\\&\\&\frac{M_y-N_x}{M}=\frac{-12x}{6xy}=-\frac{2}{y}\\&\\&\text{no depende de x. En este caso el factor integrante es } \\&\mu(y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}}\\&\\&\mu(y)=e^{\int \frac 2ydy}=e^{2lny}=e^{lny^2}=y^2\\&\\&\text{Multiplicando por el factor la ecuación queda}\\&\\&6xy^3dx + (4y^3+9x^2y^2)dy=0\\&\\&\text{Lo comprobamos}\\&M_y=18xy^2\\&Nx=18xy^2\\&\text{está bien}\\&\\&\text{Integramos }Mdx\\&\\&u(x,y)=\int 6xy^3dx= 6y^3\int xdx=3x^2y^3+\varphi(y)\\&\\&\text{lo derivamos respecto de y}\\&\\&\frac{\partial u}{\partial y}=9x^2y^2+\varphi'(y)\\&\\&\text{lo igualamos a N}\\&\\&9x^2y^2+\varphi'(y)=4y^3+9x^2y^2\\&\\&\varphi'(y)=4y^3\\&\\&\varphi(y)=\int4y^3dy=y^4\\&\\&u(x,y)=3x^2y^3+\varphi(y)=3x^2y^3+y^4\\&\\&\text{Y la solución es }u(x,y)=C\\&\\&3x^2y^3+y^4=C\\&\\&\end{align}$$