Resuelve las derivadas de las siguientes funciones, usando las fórmulas y reglas de derivación:

1.- La derivada de cualquier constante es cero

F(x)=8 ===> F'=0

2.- Derivada de una potencia

$$\begin{align}&y=x^n \Rightarrow y'=nx^{n-1}\\&F(x)=x^4\\&F'(x)=4x^3\end{align}$$

3.- Derivada de un polinomio: aplicamos tres propiedades

D quiere decir derivada

D(f(x)+g(x)+h(x)+···)=(f+g+h+····)'=f'+g'+h'+·····

Lo cual quiere decir que cuando tienes una suma(o resta) de funciones se suman (o restan sus derivadas)

D(k·F(x))=k·F'(x)

Lo cual quiere decir que cuando multiplicas una función por un número(k) derivas la función y la multiplicas por dicho número

Así 

D(5x^4)=5·4x^3

Con  lo cual tienes la derivada del polinomio

$$\begin{align}&F(x)=5x^5+6x^3-8x^2-x+10\\&F'(x)=25x^4+18x^2-16x-1+0\\&\\&\\&4.- Regla \ del \ cociente\\&D \Bigg( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigg)=\\&\\&\Bigg( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigg)'=\frac{f'·g-f·g'}{g^2}\\&\\&F(x)=\frac{x^2-3x}{5x^2+5}\\&\\&F'=\frac{(2x-3)(5x^2+5)-(x^2-3x)(10x)}{(5x^2+5)^2}\\&\\&5.- F(x)= \sqrt{x^4}=x^2 \Rightarrow F'=2x\end{align}$$

Saludos

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Para los polinomios la regla que hay que saber es esta

f(x) = x^n

f'(x) = n·x^(n-1)

y para la función constante es

f(x)=k

f'(x) = 0

·

F(x) = 8

F'(x)= 0

·

F(x) = x^4

F'(x) = 4x^3

·

F(x) = 5x^5 + 6x^3 – 8x^2 – x + 10

F'(x) = 25x^4 + 18x^2 - 16x -1

·

Para el cociente de funciones hay que saber

$$\begin{align}&(f/g)'(x) = \frac{f'g-fg'}{g^2}\\&\\&F(x) = \frac{x^2 – 3x}{5x^2 + 5}\\&\\&F'(x) = \frac{(2x-3)(5x^2+5)-(x^2-3x)·10x}{(5x^2+5)^2}=\\&\\&\frac{10x^3+10x-15x^2-15-10x^3+30x^2}{(5x^2+5)^2}=\\&\\&\frac{15x^2+10x-15}{(5x^2+5)^2}=\\&\\&\text{Aun se podría simplificar un poco}\\&\\&\frac{5(3x^2+2x-3)}{5^2(x^2+1)^2}=\\&\\&\frac{3x^2+2x-3}{5(x^2+1)^2}=\end{align}$$

F(x) = √ x^4 = x^2

F'(x) = 2x

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