Integrales definidas resolver ejercicio integral definida

El Teorema Fundamental del Cálculo dice que si

$$\begin{align}&P(x)= \int_a^{u(x)} f(t)dt\\&\\&Su \ derivada \ es:\\&\\&P'(x)=f(u(x))·u'(x)\\&\\&Luego \ si \ P(x)= \int_a^{x^2} sen(t)dt\\&\\&P'(x)=sen(x^2)·2x\end{align}$$

Saludos

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¡Hola Oscar!

El teorema fundamental dice:

$$\begin{align}&\quad F(x) = \int_a^xf(t)dt\implies  F'(x) = f(x)\\&\\&\text{debemos poner la integral que nos dan}\\&\text{como una integral desde una constante hasta x}\\&\text{para ello hacemos un cambio de variable}\\&\\&P(x)=\int_1^{x^2}sent\;dt =\\&\\&t=u^2 \implies u=\sqrt t\\&dt = 2u\;du\\&t=1\implies u=\sqrt 1=1\\&t=x^2 \implies u=\sqrt{x^2}=x\\&\\&=\int_1^xsen(u^2)·2u\;du\\&\\&\text {resumiendo}\\&\\&P(x)=\int_1^x2u\;sen(u^2)\;du\\&\\&\text{y ahora ya podemos aplicar el teorema fundamental}\\&\\&P'(x) =2x\,sen(x^2)\\&\end{align}$$

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