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Respuesta de Lucas m
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No son determinantes, son integrales.
$$\begin{align}&\int_0^3 \Big (\frac{1}{2}x^3 -2x^2 +x+3 \Big)dx=\\&\\&= \Bigg[ \frac{1}{2}·\frac{x^4}{4}-2·\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+3x \Bigg]_0^3=\\&\\&\frac{1}{2}·\frac{3^4}{4}-2 \frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2}+3(3)-0=\\&\\&\frac{81}{8}-18+\frac{9}{2}+9=\frac{45}{8}\\&\\&\\&\int_0^2 3^{1-x}dx= \Bigg[\frac{3^{1-x}}{-ln3} \Bigg]_0^2=\frac{-1}{ln3} \Bigg[3^{1-x} \Bigg]_0^2=\\&\\&=\frac{-1}{ln3} \Bigg(3^{-1}-3 \Bigg)=\frac{-1}{ln3} \Bigg(\frac{1}{3}-3\Bigg)=\frac{1}{ln3}\Bigg(3-\frac{1}{3} \Bigg)=\frac{1}{ln3} \frac{8}{3}=\frac{8}{3ln3}=\frac{8}{ln27}\end{align}$$Saludos
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Veamos.
$$\begin{align}&1) \int_0^3(\frac{1}{2}x^3-2x^2+x+3) \ dx=\\& \int_0^3 \frac{1}{2}x^3\ dx- \int_0^3 2x^2\ dx+ \int_0^3 x\ dx+ \int_0^3 3 \ dx=\\&\frac{1}{2}\frac{x^4}{4}\bigg|_0^3 - 2 \frac{x^3}{3} \bigg|_0^3 + \frac{x^2}{2} \bigg|_0^3 + 3x \bigg|_0^3=\\&\frac{3^4}{8}- \frac{2 \cdot 3^3}{3} + \frac{3^2}{2}+ 3 \cdot 3=\frac{81}{8}-18+\frac{9}{2}+9=\frac{45}{8}\\&2) \int_0^2 3^{1-x}dx\\&\text{Lo primero que tenés que saber es que } \int a^xdx=\frac{a^x}{ln\ a}\\&(sustitución\ 1-x=u\\&1-x=u\\&-dx = du\\&dx = -du\\&x=0 \to u=1\\&x=2 \to u=-1\\& \int_0^2 3^{1-x}dx= \int_1^{-1} 3^{u} (-du)=-\int_1^{-1} 3^{u} du=\\&-\frac{3^{u}}{ln \ 3} \bigg|_1^{-1}=(-\frac{3^{-1}}{ln \ 3} - (-\frac{3^{1}}{ln \ 3})=\frac{3-3^{-1}}{ln\ 3}\\&\text{Lo puedes dejar ahí, o hacer un poco más de cuentas...}\\&\frac{3-\frac{1}{3}}{ln\ 3}=\frac{\frac{9-1}{3}}{ln\ 3}=\frac{8}{3 ln\ 3}\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Carolina!
Son integrales definidas, no son determinantes.
$$\begin{align}&\int_0^3 \left(\frac 12 x^3 - 2x^2 + x + 3\right) dx=\\&\\&=\left[\frac 12·\frac{x^4}{4}-2·\frac{x^3}{3}+\frac {x^2}2+3x \right]_0^3=\\&\\&\frac{81}{8}-18+\frac 92+9-0+0-0-0=\\&\\&\frac{81+36}{8}-9=\frac{117-72}{8}=\frac {45}8\end{align}$$La segunda es una integral que calcularemos directamente, multiplicando el integrando por constantes para que sea una derivada perfecta, y dividiendo fuera por lo mismo para que no se altere nada.
$$\begin{align}&\int_0^23^{1-x}dx=\frac{-1}{ln\,3}\int_0^2-3^{1-x}ln\,3\;x=\\&\\&\left. -\frac{1}{ln3}3^{1-x} \right|_0^2=-\frac{1}{ln\,3}(3^{-1}-3^1)=\\&\\&-\frac{1}{ln\,3}\left(\frac 13-3 \right)=-\frac{1}{ln\,3}\left(-\frac 83 \right)=\frac{8}{3\,ln\,3}\end{align}$$