Como se soluciona esta integral hay que mencionar la técnica a utilizar
Buen día les agradezco su ayuda es fundamental me da seguridad en los resultados
3 Respuestas
Se resuelve por fracciones parciales... veamos
$$\begin{align}&\int \frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}dx\\&Racionalizamos\ denominador...\\&\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+1)^2}dx\\&Planteamos,\ la\ igualdad\\&\frac{3x+5}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{(x+1)^2}\\&\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+1)}=\\&\frac{Ax^2+2Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x+1)^2}\\&\text{Como los denominadores son iguales, los numeradores también deben serlo, o sea:}\\&3x+5=Ax^2+2Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C\\&\text{De donde surge}\\&0=A+B\\&3=2A -B+C\\&5=A-C\\&Resolviendo...\\&A=2, \ B=-2,\ C=-3\\&\text{y volviendo a la integral, tenemos:}\\&\int \frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}dx=\int \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{(x+1)^2} dx=\\&\int \frac{2}{x-1}+\frac{-2x-3}{(x+1)^2} dx=2 \int \frac{1}{x-1} dx- \int \frac{2x}{(x+1)^2} dx - 3 \int \frac{1}{(x+1)^2} dx=\end{align}$$Por lo que he visto de tus preguntas, creo que a partir de acá lo puedes seguir solo, en caso que tengas alguna duda avisa.
Maestro Gustavo si me gustaría ver como la termina pues la verdad tengo algunas. Dudas sería de gran aporte para mi conocimiento
Ah quedado mucho más simple con la solución del profe Valero!
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¡Hola Oscar!
El esfuerzo de Gustavo ha sido muy grande y encomiable, pero me parece que por algún sitio se ha equivocado.
La respuesta que me da el programa Maxima es:
log(x+1)/2 - log(x-1)/2 - 4/(x-1)
Yo en este momento no puedo hacerla porque tengo que dejarlo todo, si acaso la hago dentro de unas horas.
Saludos.
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El método es el de las fracciones simples. Primero debemos factorizar el denominador.
x^3 - x^2 - x - 1 =
A primera vista se ve que x=1 es una raíz, luego tiene el factor (x-1)
Ahora mediante Ruffini haríamos la división, que yo no voy a escribir por lo complicado que se hace escribirla aqui. El resultado es
(x-1)(x^2-1) = (x-1)(x+1)(x-1) = (x+1)(x-1)^2
Ahora hay que expresar el integrando como suma de fracciones simples. Según son las raíces del denominador hay diversos tipos de fracciones simples, en el caso concreto de estas es:
$$\begin{align}&\frac{3x+5}{(x+1)(x-1)^2}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}=\\&\\&\frac{a(x-1)^2+b(x^2-1)+c(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}\\&\\&\text{Luego debe ser}\\&\\&3x+5 = a(x-1)^2+b(x^2-1)+c(x+1)\\&\\&\text{para }x=1\\&\\&8=2c \implies c=4\\&\\&\text{para }x=-1\\&\\&2=4a\implies a=\frac 12\\&\\&\text{para }x=0\\&\\&5= \frac 12-b+4\implies b=-\frac 12\\&\\&\text{ entonces la integral es:}\\&\\&I=\frac 12\int \frac{dx}{x+1}-\frac 12\int \frac{dx}{x-1}+4 \int \frac{dx}{(x-1)^2}=\\&\\&\frac 12ln|x+1|-\frac 12 ln|x-1| -\frac{4}{x-1}+C\end{align}$$:
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