Cual es el método para esta ecuación lineal de primer orden

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¡Hola Xavier!

En ecuacones diferenciales si que no se permite más que un ejercicio por pregunta, haré el primero.

Para entenderlo hay que usar la forma canónica

y' + P(x)·y = Q(x)

Y la larga teoría te dice que tienes que probar con una respuesta producto de dos funciones de x

y = u(x)·v(x)

que se calculan de este modo

$$\begin{align}&v(x)=e^{-\int P(x)dx}\\&\\&u(x) = \int \frac{Q(x)}{v(x)}dx +C\\&\\&\text{Entonces la ecuación es}\\&\\&y'= 2y + x^2+5\\&\\&y'-2y=x^2+5\\&\\&Luego\quad \\&P(x)=-2\\&Q(x)=x^2+5\\&\\&v(x)=e^{-\int-2\,dx} = e^{2\int dx}= e^{2x}\\&\\&u(x)=\int \frac{x^2+5}{e^{2x}}dx=\int e^{-2x}(x^2+5)\,dx =\\&\\&\text{las u y v que vienen ahora son las de integrar por partes}\\&u=x^2+5 \qquad du=2x\,dx\\&dv=e^{-2x}dx\quad \;v=-\frac 12e^{-2x}\\&\\&=-\frac 12 e^{-2x}(x^2+5)+\int x e^{-2x}dx =\\&\text{hay que integrar por partes de nuevo}\\&u= x\qquad\quad du = dx\\&dv=e^{-2x}\quad\; v=-\frac 12e^{-2x}\\&\\&=-\frac 12 e^{-2x}(x^2+5)-\frac 12x e^{-2x}+ \frac 12\int e^{-2x}dx=\\&\\&-\frac 12 e^{-2x}(x^2+5)-\frac 12x e^{-2x}-\frac 14e^{-2x}+C\\&\\&u(x) =-\frac 12e^{-2x}\left(x^2+5+x+\frac 12  \right) +C\\&\\&y=u(x)·v(x)=-\frac{x^2}2-\frac x2 - \frac{11}4+Ce^{2x}\end{align}$$

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