Resolver la siguiente ecuación diferencial paso a paso
Buenos días señores de todo experto continuo con el desarrollo de mi aprendizaje y se me presenta esta ecuación diferencial
2 respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
2
·
·
¡Hola Oscar!
En estas ecuaciones se supone que la solución es de la forma
$$\begin{align}&y=x^m\\&y'=mx^{m-1}\\&y''=m(m-1)x^{m-2}\\&\\&\text{sustituyendo}\\&\\&x^2·m(m-1)x^{m-2}+x·mx^{m-1}+x^m=0\\&\\&m(m-1)x^m+mx^m+x^m = 0\\&\\&(m(m-1)+m+1)x^m=0\\&\\&\text{debe ser 0 el primer factor}\\&\\&m(m-1)+m+1=0\\&\\&m^2 -m+m+1=0\\&\\&m^2+1=0\\&\\&m^2 =-1\\&\\&m=\pm i\\&\\&\text{Y cuando m es complejo la teoría dice:}\\&\\&si \;m=\alpha+\beta i\\&\\&y=x^{\alpha}(A\, \cos (\beta\, ln x)+B\;sen(\beta \,ln x))\\&\\&\text{Luego en este caso es}\\&\\&y=x^0(A \cos (1·ln\,x)+B\, sen(1·ln\,x))\\&\\&y= A \cos(ln\, x) + B\, sen(ln\,x)\quad \forall A,B\in \mathbb R\\&\\&\end{align}$$:
:
Respuesta de Mario Rodríguez
1
.
Lo que tienes entre manos se denomina Ecuación Diferencial de Cauchy - Euler en su variante más compleja.
Como su demostración requiere tiempo, paciencia y mucho análisis de tu parte, te dejo un enlace que te ayudará a "meterte" en el tema: ED Cauchy-Euler (raíces complejas conjugadas)