Derivada por definicion de e elevado a x cuadrado (e^x^2) cuando el (lim h->0)

.

¡Qué lástima!, Sebastián... ¡Habías "arrancado" bien!

Te muestro una forma de terminar lo que empezaste:

De donde obtuviste esta información

Atte: muchas gracias

·

·

¡Hola Sebastián!

$$\begin{align}&f(x)=e^{x^2}\\&\\&f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{(x+h)^2}-e^{x^2}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{e^{(x^2+2xh+h^2)}-e^{x^2}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{e^{x^2}\left(e^{(2xh+h^2)}-1\right)}{h}=\\&\\&e^{x^2}·\lim_{h\to 0}\frac{e^{(2xh+h^2)}-1}{h}=\end{align}$$

A partir de aquí, si usas la fórmula de Taylor tal como te han hecho estas usando derivadas, y si usas la regla de l'Hôpital también, luego hay que usar un método que no use derivadas.  Para ello vamos a calcular este límite:

$$\begin{align}&\text{por definición}\\&\\&e=\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac 1x}=\lim_{f(x)\to0}(1+f(x))^{\frac 1{f(x)}}\\&\\&luego\\&\\&e^{f(x)}=\lim_{f(x)\to0}(1+f(x))^{\frac 1{f(x)}}=\\&\\&\left(\lim_{f(x)\to0}(1+f(x))^{\frac 1{f(x)}}\right)^{f(x)}=\\&\\&\lim_{f(x)\to0}\left((1+f(x))^{\frac 1{f(x)}}\right)^{f(x)}=\\&\\&\lim_{f(x)\to 0}\left(1+f(x)\right)^{\frac{f(x)}{f(x)}}=\\&\\&\lim_{f(x)\to 0}(1+f(x))\\&\\&\text{Por lo tanto }\\&\\&\lim_{f(x)\to 0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}= \lim_{f(x)\to 0}\frac{\lim_{f(x)\to 0}(1+f(x))-1}{f(x)}=\\&\\&\lim_{f(x)\to 0}\frac{\lim_{x\to 0}(1+f(x)-1)}{f(x)}=\lim_{f(x)\to 0}\frac{f(x)}{f(x)}= 1\\&\\&\text{Y esto es lo que vamos a usar, que}\\&\\&\lim_{f(x)\to 0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1\\&\\&\text{teníamos}\\&\\&f'(x)=e^{x^2}·\lim_{h\to 0}\frac{e^{(2xh+h^2)}-1}{h}=\\&\\&e^{x^2}·\lim_{h\to 0}\frac{(2x+h)\left(e^{(2xh+h^2)}-1\right)}{(2x+h)h}=\\&\\&e^{x^2}·\lim_{h\to 0}(2x+h)·\lim_{h\to 0}\frac{e^{(2xh+h^2)}-1}{2xh+h^2}=\\&\\&llamando \\&\\&g(h)=2xh+h^2 \text{ tenemos } \\&h\to0\implies g(h)\to 0\\&\\&=e^{x^2}·2x·\lim_{h\to 0}\frac{e^{g(h))}-1}{g(h)}=\\&\\&\text{y aplicando eso que calculamos tenemos}\\&\\&=e^{x^2}·2x·1=e^{x^2}·2x\\&\\&f'(x)=e^{x^2}·2x\end{align}$$

Que es lo que queríamos calcular.

Recuerda, si a ti te han definido la función exponencial definiéndote primero el número e y la función elevar a algo, no puedes usar la serie de potencias de e^x sin antes haber aprendido las derivadas y la serie de Taylor. Pero si resulta que estás calculando la derivada te has adelantado al plan de estudios al usar la serie de potencias.

Otra cosa es como en algunos cursos de matemática superior donde directamente se definen la funciones e^x, cosx, senx, etc. a partir de la serie de potencias, pero pienso que es no es tu caso.

:

: