Como podre realizar este ejercicio de ecuaciones diferenciales
Necesito realizar el procedimiento para saber si es exacta si nos exacta comvertirla a exacta y después darle solución ala ED exacta
(x+2) sen y dx + cos y dy = 0
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
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No es diferencial exacta pues una ecuación tipo:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
es exacta si las derivadas parciales:
$$\begin{align}&M_y=N_x\\&\\&M_y=(x+2)cosy\\&N_x=-seny\\&\end{align}$$Yo la resolvería por separación de variables:
$$\begin{align}&(x+2)sinydx=-cosydy\\&\\&(x+2)dx=- \frac{cosy}{seny}dy\\&\\&\\&\int(x+2)dx=- \int \frac{cosy}{seny}dy\\&\\&\frac{x^2}{2}+2x=-ln|seny|+lnC\\&\\&\frac{x^2}{2}+2x=ln \Big(\frac{C}{seny} \Big)\\&\\&\end{align}$$Saludos;
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Xavier!
Dada una ecuación diferencial de la forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
es una ecuación diferencial exacta si y solo si se cumple
$$\begin{align}&M_y=N_x\\&\\&\text{ en este caso}\\&\\&(x+2)sen y\; dx + \cos y \;dy=0\\&\\&M_y=(x+2)cosy\\&N_x=0\\&\\&\text{son distintas, luego no es diferencial exacta}\\&\text{Pero es exacta, aun mejor}\\&\\&(x+2)sen y\; dx = - \cos y \;dy\\&\\&(x+2) dx =-\frac{cosy}{seny}dy\\&\\&\frac{x^2}{2}+2x = -ln(seny) + lnC\\&\\&\frac{x^2}{2}+2x = ln \left(\frac C{seny}\right)\\&\\&e^{\left(\frac {x^2}{2}+2x\right)}=\frac{C}{sen y}\\&\\&sen y =Ce^{-\left(\frac {x^2}{2}+2x\right)}\\&\\&y = arc sen\left( Ce^{-\left(\frac {x^2}{2}+2x\right)} \right)\\&\end{align}$$:
:
(x+2) sen y dx + x cos y dy = 0
Le aumente la variable por antes de coseno como quedaría en este caso
Es un ejercicio distinto y que se tiene que empezar de nuevo, debes mandarlo en otra pregunta.