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¡Hola Atom!
Entre las definiciones equivalentes de matriz definida positiva hay una que dice que una matriz M nxn es definida positiva si y solo si
$$\begin{align}&X^TMX\gt0 \quad \forall X\in \mathbb R^n-\{(0,0,...,0)^T\}\\&\\&X^T(A^TA)X =(X^TA^T)(AX) =\\&\\&(AX)^T(AX)=\\&\\&\text{Suponiendo }AX=Y=(y_1, y_2, ...,y_n)\\&\\&=y_1^2+y_2^2+....+y_n^2\ge0\\&\\&\text{Y esto será mayor que 0 si }Y\neq 0\\&\\&\text{Sea }AX=0\\&\\&\text{Como A es regular la solución es única y es}\\&X=(0,0,...,0)^T\\&\\&\text {Luego si }X\neq(0,0,..., 0)^T\implies Y\neq (0,0, ...,0)^T\implies\\&\\&y_1^2+y_2^2+....+y_n^2\gt0\implies \\&\\&X^T(A^TA)X\gt0 \implies A^TA\quad\text {definida postiva}\\&\end{align}$$:
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¡ Hola experto!
tengo una pequeña duda, ¿el resultado que usted me ha proporcionado, también aplica para las matrices de mxn? es que no sé si sólo se usó la definición para una matriz de nxn o si funciona para una de mxn.
gracias.
La verdad es que no me fijé que ponía mxn, yo había supuesto nxn siempre.
Tenemos A es mxn y A^T es nxm
luego A^T · A es (nxm)·(mxn) = nxn
por lo tanto X debe ser nx1
y tenemos AX tiene dimensión (mxn)·(nx1) = mx1
Y (AX)^T sera 1xm
Con lo cual el resultado
(AX)^T · (AX) es (1xm)·(m·1) = 1x1 un número real, lo que debía ser.
Luego sí, lo que hice sirve para matrices mxn y había acertado en que X pertenecía a R^n
Saludos.
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