Como desarrollar este ejercicio de ED

·

·

¡Hola Xavier!

La ponemos en la forma habitual, si cambiamos y' = dy/dx y multiplicamos por dx tendremos

(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0

Comprobamos si es una ecuación diferencial exacta

My = 3x + 2y

Nx = 2x  + y

Luego no es exacta

My - Nx = x+y

veamos que sucede al dividir por N

(My-Nx) / N = (x+y) / (x^2+xy) = (x+y) /(x(x+y)) = 1/x

Solo depende de x

Y en este caso el factor integrante se calcula como

$$\begin{align}&\mu(x)=e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}dx}=e^{\int \frac {dx}{x}}=e^{ln\,x}=x\\&\\&\text{multiplicamos la ecuación por él factor integrante}\\&\\&(3x^2y+xy^2)dx + (x^3+x^2y)dy = 0\\&\\&\text {verificamos que es exacta}\\&\\&M_y=3x^2+2xy\\&N_x=3x^2+2xy\\&\\&\text{Lo es, luego la solución es }u(x,y)=C\\&\text{donde }u_x=M;\;u_y=N\\&\\&\text{Luego para calcular u integramos M respecto}\\&\text{de x o integramos N respecto de y}\\&\text{Hacemos lo segundo}\\&\\&u=\int(x^3+x^2y)dy = x^3y+\frac 12x^2y^2+\varphi(x)\\&\\&\text{Ahora al derivar respecto de x debe dar M}\\&\\&3x^2y +xy^2+\varphi'(x)=3x^2y+xy^2\\&\\&\text{qué fácil}\\&\\&\varphi'(x)=0\\&\\&\varphi(x) = C_1\\&\\&\text{Y con ello la solución definitiva es:}\\&\\&u=x^3y+\frac 12 x^2y^2+C_1=C\\&\\&\text{Pasando la constante a la derecha y unificándolas}\\&\\&x^3y+\frac 12x^2y^2 = C\\&\end{align}$$