Como hallar el punto en que f no tiene derivada en los siguientes casos siguientes?

La función módulo (o valor absoluto) no tiene derivadas donde se "quiebra",

$$\begin{align}&a) f(x)= |x+2|\\&x+2>0 \to x > -2\\&x+2 <0 \to x < -2\\&\text{En -2 la función no tiene derivada ya que tomando los límites laterales de la función, no coinciden, te haré los límites en este ejercicio, pero para el otro ejercicio es igual}\\&\lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{|-2+h+2|-|-x+2|}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}\\&\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h}=\frac{h}{h}=1\\&\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1\\&\text{Como los límites no coinciden, no es derivable en x=-2}\\&\\&b) f(x)= |x^2-5x+6|\\&\text{Voy a ver donde la función vale cero (\sin módulo), y por lo mismo que antes, serán los puntos que no será derivable la función}\\&x^2-5x+6=0\\&x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm1}{2}\\&x_1=3 \land x_2=2 \text{ (son los puntos donde NO es derivable f(x)}\end{align}$$

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¡Hola Sia!

Una función valor absoluto es una función a trozos, en los puntos donde el interior del valor absoluto es positivo es el propio interior y donde es negativo es el inrior con signo -.

Entonces tenemos la función |x+2|

El interior es x+2 que es una función derivable y -(x+2) también lo es.

En cualquier punto x donde x+2 sea distinto de 0 habra un entorno de x donde la función sea solo positiva o negativa y será derivable en ese punto. Luego los únicos puntos donde puede no ser derivable es donde el interior vale 0.

x+2=0

x=-2

Por la izquierda de -2 la función es

f(x) =|x+2|= -(x+2) = -x-2  y la derivada lateral izquierda es 

f'(-2-) = -1

Por la derecha de -2 la función es

f(x) = |x+2| = x+2 y la derivada lateral derecha es

f'(-2+) = 1

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Y para la función

f(x) = |x^2-5x+6|

los puntos donde vale 0 son

x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)

luego son x=2 y x=3

Es una parábola con forma de U por ser positivo el coeficiente de x^2, entonces la función es

f(x) = x^2-5x+6    si x <  2

          -x^2+5x-6   si 2 <= x <= 3

          x^2-5x+6    si x > 3

Entonces en 2 tendremos

f'(2-) = 2·2 - 5 = -1

f'(2+) = -2·2+5 = 1

no coinciden luego no es derivable en x=2

Y en x=3 tenemos

f'(3-) = -2·3+5 = -1

f'(3+) = 2·3-5  = 1

no coinciden luego no es derivable en x=3

Luego no es derivable en los puntos 2 y 3.

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