Como resolver los siguientes ejercicios sobre funciones?

Supongo que la función es:

f(x)=x^3-5 (si tiene exponente usa el símbolo "^" para que sea más sencillo de interpretar)

1) Sabemos que los polinomios son continuos en todo R, además en este caso sabemos que

f(1) = 1^3 - 5 < 0

f(2) = 2^3 - 5 > 0

Por el teorema del valor medio, existe c, tal que 1 < c < 2, tal que f(c)=0

La derivada de esa función es f'(x) = 3x^2, que en el intervalo en cuestión es estrictamente creciente, por lo tanto la raíz en cuestión es única en dicho intervalo

2) Como ya vimos que en el intervalo la función es estrictamente creciente, entonces el rango estará definido por lo que valga la función en los extremos del mismo

f(1) = -4

f(2) = 3

Rango = [-4 , 4]

3) No llego a entender el rango que estás definiendo...

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¡Hola Sia!

Yo en toda mi vida he usado esa notación de intervalos, ese intervalo es

(1, 2) de siempre.

1)  Seguramente quieren que demuestres esto usando el teorema de Bolzano que dice que si una función es continua en el intervalo [a, b] y se cumple que f(a) y f(b) son distintos de 0 y tienen signos contrarios, entonces existe al menos un punto c dentro del intervalo (a, b) tal qe f(c)=0

La función

f(x) = x^3 - 5  

Que supongo quieres decir eso pero hay que poner ese simbolo, es continua en todo R, todos los polinomios lo son.

Y en los extremos del  intervalo [1, 2] se cumple

f(1) = 1^3 - 5 = -4

f(2)  2^3 - 5 = 8 - 5 = 3

Son distintos de 0 y con signos contrarios.

Luego se cumplen todos los requisitos del teorema de Bolzano y habrá al menos un punto c en el intervalo abierto (1, 2) donde f(c)=0

Luego la ecuación f(x) = 0 admite una solución en (1, 2)

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Para ver si es única peodríamos ver por ejemplo si es creciente en todo el intervalo. Y para ello usaremos la derivada

f'(x) = 3x^2

Que es siempre positiva, luego la función f(x) es siempre creciente y solo tiene una solución, la que hemos dicho antes que existía.

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2)  El intervalo que pone ahí es [1, 2)

Al ser f creciente y continua la imagen del intervalo es

[f(1), f(2)) = [-4, 3)

Recuerda que -4 y 3 ya los habíamos calculado antes.

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3)

No dices cuál es el conjunto imagen. Pero en 1 ya descubrimos que la derivada era siempre positiva y por tanto siempre estrrctamente creciente y por lo tanto inyectiva. Bueno únicamente había un punto con derivada 0 pero al ser solo un punto y no un intervalo la función era esctrictamente creciente en el también.

Entonces a partir de una función inyectiva podemos construir una biyectiva tomando un subconjunto origen cualquiera y tomando como conjunto destino la imagen del conjunto origen.

Entonces si tomamos como origen

(-∞, 0]

y por ser creciente tomamos como imagen

(f(-∞), f(0)] = (-∞, -5]

tendremos una función biyectiva

g: (-∞, 0]   -----> (-∞, -5]

x ------> x^3 - 5

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