Encuentre la medida de los ángulos A y B, respectivamente.
Sea el triángulo ABC de lados AB=AC y BC=√2. Sabiendo que la bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D y BD=1 encuentre la medida de los ángulos A y B, respectivamente.
Rpta: 120° y 30°
2 respuestas
Al ser BD la bisectriz:
$$\begin{align}&B=C=2 \alpha\\&\\&Triangulo \ BDC:\\&\alpha+C+\beta=180º\\&\\&\alpha+2 \alpha+\beta=180º \Rightarrow \beta=180º-3 \alpha\\&\\&Teorema \ del \ seno \ en \ triángulo \ BDC:\\&\\&\frac{BD}{senC}=\frac{BC}{sen \beta}\\&\\&\frac{1}{sen2 \alpha}=\frac{ \sqrt 2}{sen (180º-3 \alpha)}\\&\\&Angulos \ suplementarios: sen(180º-3 \alpha)=sen3 \alpha\\&\\&\frac{1}{sen2 \alpha}=\frac{ \sqrt 2}{sen 3\alpha}\\&\\&sen 3 \alpha= \sqrt 2 ·sen 2\alpha\\&\\&sen(2 \alpha+\alpha) =\sqrt 2 · sen 2 \alpha\\&\\&sen(A+B)=senAcosB+cosAsenB \ \ (seno \ de \ la \ suma)\\&sen2A=2senAcosA \ (\ seno \ angulo \ doble)\\&cos2A=\cos^2A-sen^2A \ (coseno \ angulo \ doble)\\&\\&sen2 \alpha·\cos\alpha+\cos 2\alpha·sen \alpha= \sqrt 2 · sen 2 \alpha\\&\\&2sen \alpha·\cos \alpha·\cos \alpha+ (\cos^2 \alpha-sen^2 \alpha)sen \alpha=2 \sqrt 2· sen \alpha·\cos \alpha\\&\\&Simplificando \ por \ sen \alpha:\\&\\&2cos \alpha·\cos \alpha+ (\cos^2 \alpha-sen^2 \alpha)=2 \sqrt 2· \cos \alpha\\&Fórmula \ Fundamental \ Trigonometría:sen^2A+\cos^2A=1\\&\\&2cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha-(1-\cos^2 \alpha)- 2 \sqrt 2·\cos \alpha=0\\&\\&4cos^2 \alpha -2 \sqrt 2 ·\cos \alpha -1=0\\&\\&Ecuación \ de \ 2º \ grado:\\&\\&\cos \alpha=\frac{-(-2 \sqrt 2) \ \pm \sqrt {(-2 \sqrt 2 )^2+16}}{2·4}=\frac{2 \sqrt 2 \pm \sqrt{8+16}}{8}=\\&\\&=\frac{2 \sqrt 2 \pm \sqrt {24}}{8}=\frac{2 \sqrt 2 \ \pm 2 \sqrt 6}{8}=\frac{ \sqrt 2 \pm \sqrt 6}{4}\\&\\&\alpha_1=arccos(\frac{ \sqrt 2 + \sqrt 6}{4})=15º \Rightarrow B=C=30º \Rightarrow A=180-2·30=120º\\&\\&\alpha_2=arccos(\frac{ \sqrt 2 - \sqrt 6}{4})=105º \Rightarrow B=C=210º \Rightarrow A=180-2·210º (NO)\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Saludos
;
;
·
·
¡Hola Daniela!
Este es el típico triángulo isósceles, luego lo pondremos de forma que la base sea el lado distinto y los otros dos iguales. A arriba, B abajo a la izquierda y C abajo a la derecha. Te dejo que hagas tú el dibujo y yo hago los cálculos que va a ser lo peor.
Si tomamos el triangulo BCD tendremos:
BC = √2
BD = 1
El ángulo en B será la mitad del original llamémoslo B/2
El ángulo en C será el mismo que era como el B original por ser triángulo isosceles
En ángulo en D sera 180º-B/2-B = 180º- 3B/2
Podemos aplicar el teorema de los senos
$$\begin{align}&\frac 1{sen B}=\frac{\sqrt 2}{sen\left(180º-\frac {3B}{2}\right)}\\&\\&\sqrt 2 ·senB=sen\left(180º-\frac {3B}{2}\right)\\&\\&\text{El seno de ángulos suplementarios es el mismo}\\&\\&\sqrt 2 ·senB=sen\left(\frac {3B}{2}\right)\\&\\&\text{aplicando la fórmula del ángulo mitad}\\&\\&\sqrt 2 ·senB = \sqrt{\frac{1-\cos(3B)}{2}}\\&\\&\text{elevando al cuadrado}\\&\\&2sen B=\frac{1-\cos(3B)}{2}\\&\\&4sen^2B = 1-\cos(3B)\\&\\&\text{La fórmula de Moivre dice}\\&\\&[r(cosx+isenx)]^n=r^n(\cos nx+i\, sen\,nx)\\&\\&\text{con r=1 y n=3}\\&\\&(\cos x+i\,senx)^3=\cos 3x+i\,sen\,3x\\&\\&\cos^3 x+3icos^2x\,senx-3 \cos x\,sen^2 x-isen^3x= \cos 3x+i\,sen\,3x\\&\\&\cos^3x-3cosxsen^2x=\cos 3x\\&\\&\text{luego}\\&\\&4sen^2B = 1-\cos^3B+3 \cos B\, sen^2B\\&\\&4(1-\cos^2 B) = 1 - \cos^3B+3 \cos B (1- \cos^2 B)\\&\\&4 - 4 \cos^2 B=1- \cos^3 B + 3cos B-3 \cos^3B\\&\\&4 \cos^3B - 4 \cos^2B-3 \cos B+3=0\\&\\&\text{Llamando }x=\cos B\\&\\&4x^3-4x^2-3x+3=0\\&\\&\end{align}$$Se ve que eso tiene una solución fácil
x=1
Pero entonces
cosB= 1 ==> B = 0
Y no tenemos triángulo
Para calcular las otras raíces dividimos por Ruffini
4 -4 -3 3
1 4 0 -3
-------------------
4 0 -3 | 0
Luego queda el polinomio
4x^2 - 3 = 0
4x^2 = 3
x^2 = 3/4
x = (√3)/2
solo nos interesa la positiva, ya que es el coseno de un ángulo menor de 90º
cos B = (√3)/2
B = 30º
Y una vez calculado B tenemos
A = 180º - 30º-30º = 120º
Lo de Ruffini quedó mal porque esta página es una asquerosa comedora de espacios
¡Muy bien hecho! No pensé yo que había una forma más sencilla calcular el seno o coseno del ángulo triple que usando la fórmula de Moivre. - Valero Angel Serrano Mercadal
Gracias. Saludos - Lucas m