Desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las integrales como es elcaso del análisis de gráficas

En estos ejercicios, siempre que se pueda conviene hacer un gráfico para intentar ver que es lo que piden (además que en este ejercicio te lo piden)

La región que te están pidiendo es la sombreada y es fácil ver (además que nuevamente te lo piden) que lo que conviene es mirar la figura "de costado" que quedaría una recta por encima de una parábola. Para hacer esto simplemente debes despejar "x" en función de "y", para luego hacer la recta menos la parábola e integrar esa fórmula... vamos a ver

$$\begin{align}&y^2=2x \to x = \frac{y^2}{2} \ (f)\\&y=x-4 \to x = y+4\  (g)\\&Sea\ h=g-f\\&\text{Antes de hacer la integral, debemos ver entre que puntos hacerla (donde se cortan ambas funciones)}\\&f=g\\&\frac{y^2}{2}=y+4 \Rightarrow y^2-2y-8=0\\&y_1=4 \land y_2=-2\\&Area = \int_{-2}^4 y+4 - \frac{y^2}{2} dy = \bigg(\frac{y^2}{2}+4y-\frac{y^3}{6}\bigg) \Bigg|_{-2}^{4}=\\&\bigg(\frac{4^2}{2}+4\cdot 4-\frac{4^3}{6}\bigg) -\bigg(\frac{(-2)^2}{2}+4\cdot (-2)-\frac{(-2)^3}{6}\bigg) =\\&(8+16-\frac{32}{3}) - (2-8+\frac{4}{3})=\frac{40}{3}-(-\frac{14}{3})=18\end{align}$$