Demuestra que para cualquier numero natural 1^3+ 2^3+3^3+...+n^3= (n(n+1)/2)^2

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¡Hola Francisco!

Esto huele desde lejos a demostración por inducción, vamos a ver:

Para n=1 tendremos

1^3 = (1(1+1)/2)^2

1 = (2/2)^2

1=1

Se cumple.

Supondremos que se cumple para n y veremos si se cumple para n+1

$$\begin{align}&1^2+...+n^3+(n+1)^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3=\\&\\&(n+1)^2\left( \frac{n^2}{2^2}+n+1 \right)=(n+1)^2\left(\frac{n^2+4n+4}{2^2}  \right)=\\&\\&(n+1)^2·\frac{(n+2)^2}{2^2}=\left(\frac{(n+2)(n+1)}{2}\right)^2\\&\end{align}$$

que es la misma fórmula que nos dan aplicada a n+1, luego para n+1 sirve la fórmula.  Y con eso queda demostrada la inducción.

Espero que te sirva y lo hayas entendido.

Saludos.

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