Como determinar los puntos en los cuales la tangente es horizontal?

Se obtiene la derivada de la función:

$$\begin{align}&d/dx((\cos(x))/(2+\sin(x))) = -(2 \sin(x)+1)/(\sin(x)+2)^2\end{align}$$

igualas la derivada a 0 y resuelves para x:

$$\begin{align}&-(2 \sin(x)+1)/(\sin(x)+2)^2=0\end{align}$$

El denominador lo mandas a multiplicar y se elimina, te queda

$$\begin{align}&-(2 \sin(x)+1)=0\\&\end{align}$$

Terminamos de resolver para x:

$$\begin{align}&2 \sin(x)+1=0\\&\sin(x)=-1/2\\&x=arcsin(-1/2)\\&x= -\pi/6\end{align}$$

Entonces, en ese punto, la derivada es 0. porque recuerda que las derivadas son las ecuaciones de la pendiente de la curva. al no haber curva significa que la derivada, o pendiente, es 0

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¡Hola Peri!

La tangente es horizontal cuando la derivada es 0, luego vamos a calcularla

$$\begin{align}&y=\frac{\cos x }{2+ sen x}\\&\\&y'=\frac{-senx(2+senx)-cosx·cosx}{(2+senx)^2}=\\&\\&\frac{-2senx -sen^2x-\cos^2x}{(2+senx)^2}=\frac{-2senx-1}{(2+senx)^2}\\&\\&\text{Para que sea 0 debe serlo el numerador}\\&\\&-2senx-1=0\\&\\&-2senx=1\\&\\&senx=-\frac 12\\&\\&\text{Los ángulos cuyo seno es }-\frac 12\;son\\&\\&\left\{\frac 76\pi,\frac{11}{6}\pi\right\}\\&\\&\text{también los puedes expresar como}\\&\\&\left\{-\frac 56\pi,-\frac{\pi}{6}\right\}\\&\\&\text{y si los radianes no se te dan bien}\\&\\&\left\{210º, 330º\right\}\end{align}$$

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