¿Duda sobre la siguiente integral?

.

Hola! Anónimo

La resolución no es tan complicada desde lo conceptual mas -ciertamente- resulta un tanto laboriosa.

Te muestro una forma de hacerlo:

·

·

¡Hola Anónimo!

Conocerás algunas identidades trigonométricas, en principio usaré esta.

$$\begin{align}&sen^2x= \frac{1-\cos 2x}{2}\\&\\&\text{más abajo también hará falta}\\&\cos^2x= \frac{1+\cos 2x}{2}\\&\\&\int sen^6(4x) dx=\\&\\&\int \left(\frac{1-\cos(8x)}{2}  \right)^3 dx=\\&\\&\frac 18\int\left(1- 3cos^2(8x)+3cos(8x)-\cos^3(8x)  \right)dx=\\&\\&\frac 18\left(x+\frac{3sen(8x)}{8}-3\int \frac{1+\cos(16x)}{2}dx-\int(1-sen^2(8x))\cos(8x)\;dx \right)=\\&\\&\text{para la última hacemos el cambio }t=sen( 8x)\implies dt=8cos(8x)dx\\&\\&\frac 18\left( x+\frac{3sen(8x)}{8}-\frac 32x-\frac{3sen(16x)}{32}-\frac 18\int(1-t^2) dt\right)=\\&\\&\frac 18\left(-\frac  x2+\frac{3sen(8x)}{8}-\frac{3sen(16x)}{32}-\frac t8+\frac{t^3}{24} dt\right)+C=\\&\\&\frac 18\left(-\frac  x2+\frac{3sen(8x)}{8}-\frac{3sen(16x)}{32}-\frac {sen(8x)}8+\frac{sen^3(8x)}{24} dt\right)+C=\\&\\&\frac 18\left(-\frac  x2+\frac{sen(8x)}{4}-\frac{3sen(16x)}{32}+\frac{sen^3(8x)}{24} \right)+C\\&\end{align}$$

Y eso es todo.  La comprobación de si está bien hecha con este tipo de integrales es imposible ya que los programas pueden darte otras expresiones muy distintas y si derivas eso no eres capaz de simpliicarlo.  Deberás revisar si está bien hecha la integral.  Fíjate que el otro experto no hizo bien el binomio al cubo.

Saludos.

:

;