Hallar la solución particular de la siguiente ecuación

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¡Hola Oli!

El enunciado me parece que no ha salido completo.

Yo supongo que quieres hallar una solución particular de una ecuación diferencial. Si no pones la ecuación diferencial no podremos calcularla, lo que tú has puesto es la respuesta pero no la ecuación diferencial.

Espero la aclaración.

Saludos.

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si es verdad, hubo un problema al escribir el enunciado, la ecuación diferencial es: (y''+4y'+5)y=4 e^(-2) cosx

¿Seguro qué es esa?

No sería mas bien una ecuación lineal como por ejemplo

y'' + 4y' + 5y = 4e^(-2)cosx

Es que la que has puesto dudo mucho si podría hacerla.

si!!, exacto esa misma es! :)

y'' + 4y' + 5y = 4e^(-2)cosx ... esa es la ecuación a resolver tal como usted dijo :)

Yo creo que al final la ecuación es:

y'' + 4y' + 5y = 4xe^(-2x)cosx

En estos casos de polinomio por exponencial por trigonométrica de seno y/o coseno se debe probar con la suma de dos polinomios por exponencial por trigonométrica del seno y coseno. Los polinomio deben ser del grado mayor de los polinomios de F(x)

y = (Ax+B)e^(-2x)·cosx + (Cx+D)e^(-2x)senx

Pero como va a costar algo, mejor que me confirmes definitivamente la ecuación:

y'' + 4y' + 5y = 4xe^(-2x)cosx

Si es

y'' + 4y' + 5y = 4e^(-2x)cosx

Mejor,

Y la que no creo que fuera es

y'' + 4y' + 5y = 4e^(-2)cosx

Confirmame la ecuación exacta sin dejarte nada.

Ecuación: y'' + 4y' + 5y = 4e^(-2x)cosx

Pues finalmente es una constante (polinomio de grado 0) por exponencial y por seno. Debemos pobrar con una función así:

y=Ae^{-2x}senx+Be^{-2x}cosx
y'= -2Ae^{-2x}senx + Ae^{-2x}cosx-2Be^{-2x}cosx-Be^{-2x}senx=
\qquad(-2A-B)e^{-2x}senx+(A-2B)e^{-2x}cosx
y''=(4A+2B)e^{-2x}senx+(-2A-B)cosx+(-2A+4B)e^{-2x}cosx+(-A+2B)e^{-2x}senx=
\qquad (3A+4B)e^{-2x}senx+(-4A+3B)e^{-2x}\cos x
\text{sustituimos en al ecuación diferencial}
y''+4y'+5y=(3A+4B -8A-4B+5A)e^{-2x}senx+(-4A+3B+4A-8B+5B)e^{-2x}cosx=
0+0=0

Bueno, pues puedes ver que no ha servido para nada, la respuesta no puede tener esa forma. Lo que me hace recordar que no he mirado si la composición del coeficiente del exponente de e +- i por el coeficente del seno y coseno es solución de la ecuación característica.

el coeficiente del exponente es -2 y el del seno 1

-2+-i

k^2+4k +5 = 0

(-2 + i)^2 + 4(-2+i) + 5 = 4 -4i -1 -8 +4i + 5 = 0

(-2 - i)^2 + 4(-2-i) + 5 = 4 +4i - 1 -8 -4i + 5 = 0

Pues esto no hace más que complicar las cosas, la función a probar deb multiplicarase por x y lo va a a hacer mucho más penoso.

$$\begin{align}&y_p=Axe^{-2x}sen x+Bxe^{-2x}cosx = e^{-2x}x(Asenx+Bcosx)\\&\\&\text{Ya pongo de factor común }e^{-2x}\text{ para toda la derivada}\\&\\&y_p'= e^{-2x}[-2x(Asenx+Bcosx)+Asenx+Bcosx+Ax\,cosx-Bx\,senx] =\\&\\&\qquad e^{-2x}[(-2Ax+A-Bx)sen x+(-2Bx+B+Ax)cosx]\\&\\&y_p''=e^{-2x}[-2(-2Ax+A-Bx)sen x-2(-2Bx+B+Ax)cosx+\\&\qquad\qquad (-2A-B)senx+(-2B+A)cosx+\\&\qquad\qquad (-2Ax+A-Bx)\cos x-(-2Bx+B+Ax)senx]=\\&\\&\qquad e^{-2x}[(4Ax-2A+2Bx-2A-B+2Bx-B-Ax)senx+\\&\qquad\qquad(4Bx-2B-2Ax -2B+A-2Ax+A-Bx)cosx] =\\&\\&\qquad e^{-2x}[(3Ax+4Bx-4A-2B)senx+(-4Ax+3Bx+2A-4B)cosx]\\&\\&\text{sustituyendo en la ecuación diferencial}\\&\\&y''+4y'+5y=\\&\\&e^{-2x}[(3Ax+4Bx-4A-2B    -8Ax+4A-4Bx+5Ax)senx+\\&\qquad(-4Ax+3Bx+2A-4B   -8Bx+4B+4Ax+5Bx)cosx]\\&\\&=e^{-2x}[-2Bsenx +2Acosx]\\&\\&\text{y esto debe ser lo qe nos dan, luego}\\&\\&e^{-2x}[-2Bsenx +2Acosx]= 4e^{-2x}cosx\\&\\&-2B=0\implies B=0\\&2A=4  \implies A=2\\&\\&\text{luego}\\&\\&y_p= 2xe^{-2x}senx\\&\end{align}$$

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¡Gracias! Muchísimas gracias, si se entiende y me sirve bastante.

Saludos.

Algo ha hecho mal la página para que el primer intento lo haya sacado mal, a ver si ahora sale bien

$$\begin{align}&y=Ae^{-2x}senx+Be^{-2x}cosx\\&y'= -2Ae^{-2x}senx + Ae^{-2x}cosx-2Be^{-2x}cosx-Be^{-2x}senx=\\&\qquad(-2A-B)e^{-2x}senx+(A-2B)e^{-2x}cosx\\&y''=(4A+2B)e^{-2x}senx+(-2A-B)cosx+(-2A+4B)e^{-2x}cosx+(-A+2B)e^{-2x}senx=\\&\qquad (3A+4B)e^{-2x}senx+(-4A+3B)e^{-2x}\cos x\\&\text{sustituimos en al ecuación diferencial}\\&y''+4y'+5y=(3A+4B -8A-4B+5A)e^{-2x}senx+(-4A+3B+4A-8B+5B)e^{-2x}cosx=\\&0+0=0\end{align}$$

Pero no sirvió porque -2+i era solución de la ecuación característica.  Como no es una cosa que suela suceder muchas veces no lo había comprobado.

Hay algo que aún no me queda claro, ya se como obtener la solución particular, pero como hago ahora para obtener la solución homogénea de esta ecuación?? ..gracias por la valiosa ayuda que me brinda por cierto :)