Ejercicio de transformación lineal álgebra
¿Alguien me podía explicar como se resuelve el ejercicio adjunto? Gracias,
1 Respuesta
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¡Hola Jean Franco!
Dado un vector (x, y) de R^2 su imagen será
(2x, kx-y, ky) en la base destino luego el vector imagen será
T(x,y) = 2x(1,1,0) + (kx-y)(0,1,1) + ky(0,0,2) =
(2x, 2x+kx-y, kx-y+2ky) = (2,3,5)
Esta iguladad vectorial son tres igualdades
2x = 2 ==> x = 1
2x+kx - y = 3 ==> 2+k - y = 3 ==> k - y = 1 ==> y=k-1
kx-y+2ky = 5 ==> k - y + 2ky = 5 ==> k - k + 1 + 2k(k-1) = 5 ==>
1 + 2k(k-1) = 5
2k(k-1) = 4
k(k-1) = 2
k^2 + k - 2 = 0
(k+2)(k-1) = 0
Luego los valores son k = -2 y 1
¡Gracias! . me ayudaste.. aentender el final del ejerxicio que no me salia jien. saludos.
Em el segundo punto, pide que que confirme si para todos los valores de que es inyectiva.
Una aplicación lineal es inyectiva si el núcleo es el vector nulo.
Vimos arriba que la aplicación lineal era
T(x,y)=(2x, 2x+kx-y, kx-y+2ky)
Veamos cual es el nucleo
T(x,y)=(0,0,0)
2x=0
2x+kx-y=0
kx-y +2ky=0
de la primera se deduce
x=0
entonces vamos a la segunda
2·0+k·0 -y = 0
y = 0
Luego el núcleo es siempre (0,0) independientemente del valor de k
Y entonces la aplicación es siempre inyectiva.
Saludos.
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