Demostrar como esta suma es un grupo...álgebra abstracta!

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¡Hola Zankass!

Primero recordar que Z_n={0,1,..., n-1}  tú habías escrito un elemento de más

Si claro, esa es la suma en Z_n de toda la vida y es un grupo. Veamos.

1) Es una operación interna.

Por el algoritmo de la división el resto de dividir entre n está comprendido en {0, 1, 2, ..., n-1}

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2)

Propiedad asociativa.

El resto cumple

0 <= r < n

Y r se obtiene sumando o restando kn donde k es una constante

En concreto en la suma de dos elementos k=-1, 0 ó 1. Para no andar con subíndices usaré constantes k, h, i, j

(a+b)+c = (a+b - kn) + c = a+b-kn+c-hn = a+b+c - (k+h)n

a+(b+c) = a +(b+c-in) + a + b + c - in - jn = a+b+c - (i+j)n

Estos dos resultados deben estar entre 0 y n-1 inclusive

Si (k+h) distinto de (i+j) entonces la diferencia entre ambos será mayor o igual que n, con lo cual será imposible que estén los dos en [0, n-1]

Luego como (k+h)=(i+j) se tiene

(a+b)+c = a(b+c)

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3)

Tiene elemento neutro, el 0

Sea a € Z_n 

a+0 = 0+a = a

Y como a ya está comprendido entre 0 y n-1 no hay que quitarle nada luego ese es el resultado, luego 0 es elemento neutro

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4)

Tiene elemento inverso.

1 tiene como inverso n-1

1+n-1 = n

Y el dividir por n da cociente 1 y resto 0

Luego en Z_n la operación da

1+n-1 = 0

Y el opuesto de 2 es n-2

Y así hasta llegar al opuesto de n-1 que es 1.

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