Álgebra abstracta...demostración producto de transposiciones!
Esperando me sigan apoyando es estos ejercicios!
Sea A un conjunto finito de al menos dos elementos. Demuestre que cualquier permutación de A puede verse como un producto de transposiciones. Este es un ejercicio sobre álgebra abstracta!
1 respuesta
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¡Hola Zankass!
El ser un grupo finito habráun número finito de elementos que no están en su posición original.
Vayamos a la primera posición donde no está su elemento original, buscamos la posición donde a ido a parar el elemento que debía estar allí, y hacemos la permutación entre los elementos de esas dos posiciones.
Ahora los elementos que no están en su sitio serán uno o dos menos que antes.
Volvemos a buscar la primera posición donde hay un elemento no original, buscamos la posición donde ha ido ese original e intercambiamos. Y hemos conseguido uno o dos menos fuera de lugar.
Se hace este proceso hasa que todos estén en su lugar, al ser un número finito se consigue en un número finito de pasos.
Yo he seguido el orden de buscar la primera posición, pero tambíen se puede usar buscar el número más bajo que no está en su sitio e intercambiar su posición con aquella donde está, y creo que es mejor. En este caso se van poniendo en su sitio por orden hasta llegar al último y estarán todos bien.
Por ejemplo:
1 2 3 4 5 6 7 8
3 6 5 4 1 2 8 7
El 1 esta fuera de lugar, esta en la posición 5ª, intercambiamos posiciones 1ª y 5ª
1 6 5 4 3 2 8 7
El 2 está fuera de su sitio esta en la posición 6ª, intercambiamos las posiciones 2ª y 6ª
1 2 5 4 3 6 8 7
El 3 no está en su sitio está en la posición 5ª, intercambiamos 3ª y 5ª
1 2 3 4 5 6 8 7
Y el 7 no está en su lugar está en la 8ª, intercambiamos 7ª y 8ª
1 2 3 4 5 6 7 8
Luego la permutación es el producto de estos ciclos
(1,5)(2,6)(3,5)(7,8)
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