Hallar dominio y rango de estas funciones: y=4x^2 + 5x+2 y 3x^3+6x+3

Te dejo algo un poco más general:

Dominio: Todos los polinomios tienen como dominio todos los reales

Imagen: acá depende del grado del polinomio

Impar (como este caso): entonces es todos los reales

Par: entonces existe un máximo (o mínimo) absoluto. Si el coeficiente que acompaña al grado del polinomio es positivo, la función estará definida desde el mínimo absoluto (incluido) hasta el infinito; en cambio si el coeficiente es negativo, entonces el rango será de menos infinito hasta el máximo absoluto (incluido).

Ejemplo para una función cuadrática

ax^2 + bx + c

Si a es positivo, entonces tendrá un mínimo y si a es negativo tendrá un máximo. El valor que tomará la función es ese punto está dado por la expresión (-b^2 + 4ac) / (4a) que corresponde al "y" del vértice, siendo el "x" del vértice el correspondiente al valor -b /(2a)

Dada la función:

$$\begin{align}&f(x)=4x^2+5x+2\end{align}$$

Al tratarse de una función polinómica podemos afirmar que:

$$\begin{align}&Domf(x)=\mathbb{R}\end{align}$$

Para calcular su rango, en primer lugar vemos la existencia de extremos relativos. Lo que se hace resolviendo la derivada e igualando a cero:

$$\begin{align}&f'(x)=8x+5=0 \Rightarrow x=\frac{-5}{8}\end{align}$$

Vemos si se trata de un máximo o un mínimo calculando el signo de la derivada a izquierda y derecha de x=-5/8, dando valores:

f'(-1)<0 --> Decreciente de menos infinito a -5/8

f'(0)>0 --> Creciente de -5/8 a más infinito

Por tanto se trata de un mínimo, así que el rango de la función es:

$$\begin{align}&R=[f(-5/8),+\infty)\end{align}$$

La otra función sigue un proceso similar.