Como resuelvo este ejercicios de Ecuaciones diferenciales
Al apagar un motor su temperatura es de 98°C y el medio en que se encuentra se conserva a 21 °C. Si después de 10 minutos el motor se ha enfriado a 88 °C, encuentre:
a) La temperatura del motor como función del tiempo.
b) El instante en el cual su temperatura es de 35°C
2 Respuestas
·
·
¡Hola Oscar!
La variación de la temperatura es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio ambiente.
$$\begin{align}&\frac{dT}{dt}=k(T-Tm)\\&\\&\text{T = temperatura del motor}\\&T_m \text{= temperatura del medio ambiente =21º}\\&t=tiempo\\&\\&\text{Es de variables separables}\\&\\&\frac{dT}{T-21}=k\;dt\\&\\&ln(T-21) = kt + ln\,C\\&\\&T-21=e^{kt+lnC}\\&\\&T = Ce^{kt}+21\\&\\&\text{Para t=0 tenemos T=98º}\\&\\&98=C+21\\&\\&C=77\\&\\&\text{Para t=10 tenemos T=88º}\\&\\&88=77e^{10k}+21\\&\\&77e^{10k}=67\\&\\&e^{10k}=\frac{67}{77}\\&\\&10k= ln\left(\frac{67}{77} \right)\\&\\&k=\frac 1{10}ln\left( \frac {67}{77}\right)\\&\\&\text{Luego la función es:}\\&\\&T(t)=77 e^{\frac{1}{10}ln\left( \frac {67}{77}\right)t}+21\\&\\&T(t)=77e^{ln\left(\frac{67}{77} \right)^{1/10}t}+21\\&\\&T(t)=77·\left(\frac{67}{77}\right)^{{t}/{10}}+21\\&\\&\text{Seguramente eres de Física y con unos}\\&\text{decimales tendrías suficiente}\\&\\&T(t) = 77·0.986185^t+21\\&\\&\\&\\&b)\\&\\&35=77·\left(\frac{67}{77}\right)^{{t}/{10}}+21\\&\\&77·\left(\frac{67}{77}\right)^{{t}/{10}}=14\\&\\&\left(\frac{67}{77}\right)^{{t}/{10}}=\frac{14}{77}=\frac 2{11}\\&\\&\frac{t}{10} ln\left(\frac{67}{77}\right)=ln \left(\frac{2}{11} \right)\\&\\&t=\frac{10 ln \left(\frac{2}{11} \right)}{ ln\left(\frac{67}{77}\right)}\approx 122.5443 \min\end{align}$$
Recordemos la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento de Newton
$$\begin{align}&\dfrac{dT}{dt}=k(T-T_m)\end{align}$$donde
T es la temperatura en función del tiempo.
T será el tiempo en minutos.
Tm: la temperatura del medio
k: La constante de enfriamiento (k<0)
Resolvamos la EDO
Datos:
T(0) = 98°C
Tm = 21° C
T(10) = 88° C
Ecuación a resolver:
$$\begin{align}&\dfrac{dT}{dt}=k(T-21)\\& \\&\dfrac{dT}{dt}-kT=-21k\\& \\&\text{Factor de integración: }\\&\\&FI=\exp\int_{0}^t-k\;dx\\& \\&FI=e^{-kt}\\& \\&\\&\text{multiplicamos a la EDO: }\\& \\&e^{-kt}\dfrac{dT}{dt}-ke^{-kt}T=-21ke^{-kt}\\& \\&\left(e^{-kt}T\right)'=-21ke^{-kt}\\& \\&e^{-kt}T=T(0)+21e^{-kt}-21\\&\\&T=T(0)e^{kt}+21-21e^{kt}\\&\\&T(t)=77e^{kt}+21\\&\\&\end{align}$$Ahora evaluemos en t = 10
$$\begin{align}&T(10)=77e^{10k}+21\\&\\&88=77e^{10k}+21\\&\\&77e^{10k} = 67\\&\\&e^{10k} = \dfrac{67}{77}\\&\\&k = \ln \sqrt[10]{\dfrac{67}{77}}\end{align}$$a)
$$\begin{align}&T(t)=77\sqrt[10]{\dfrac{67}{77}}^t+21\end{align}$$b)
$$\begin{align}&77\sqrt[10]{\dfrac{67}{77}}^t+21=35\\&\\&77\sqrt[10]{\dfrac{67}{77}}^t=14\\&\\&\sqrt[10]{\dfrac{67}{77}}^t=\dfrac{2}{11}\\&\\&t= \dfrac{\log \dfrac{2}{11}}{\log \sqrt[10]{\dfrac{67}{77}}}\\&\\&t\approx 122.54 \text{ min}\\&\end{align}$$
En la segunda línea debió ser t en minutos