Resolver tarea de mate sobre dominio y rango
Hallar dominio y rango de estas funciones:
Y= 2X³ + 4X + 2 todo este termino sobre 5X +9
Y= Raiz Cuadrada de 3X + 2
LOs necesito con el procedimiento.
1 Respuesta
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¡Hola Laura!
Es una función racional (cociente de polinomios) el dominio es todo R salvo los puntos donde el denominador se hace 0
5x+9 = 0
5x = -9
x = -9/5
Dom f = R - {-9/5}
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Para calcular el rango dividimos la función en sus dos trozos continuos y calculamos los límites en los extremos
$$\begin{align}&\lim_{x\to -\infty} \frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=\\&\\&\lim_{x\to -\infty} \frac{2x^2+4+\frac 2x}{5+\frac 9x}=\frac{2(-\infty)^2+4+0}{5+0}=+\infty\\&\\&\text{ahora el límite por la izquierda en la asíntota vertical}\\&\\&\lim_{x\to-\frac 95^-}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}\\&\\&\text{El denominador tiende a 0, pero es negativo ya que}\\&\\&x\lt-\frac{9}5\implies 5x+9\lt0\\&\\&\lim_{x\to-\frac 95^-}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=\frac{-2·\frac{729}{125}-4·\frac 95+2}{0^-}=\\&\\&\text{a ojo se ve que el numerador es negativo}\\&\text{por lo tanto el límite será negativo entre }\\&\text{negativo tendiendo a 0}=+\infty\\&\\&\text{y en el otro trozo}\\&\\&\lim_{x\to-\frac 95^+}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=\frac{-2·\frac{729}{125}-4·\frac 95+2}{0^+}=-\infty\\&\\&\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^3+4x+2}{5x+9}=\lim_{x\to \infty} \frac{2x^2+4+\frac 2x}{5+\frac 9x}=\\&\\&\frac{2(\infty)^2+4+0}{5+0}=+\infty\\&\\&\\&\end{align}$$-----
b)
El dominio serán aquellos valores de x para los que el radicando sea no negativo
3x+2>= 0
3x >= -2
x >= -2/3
Luego
Dom f = [-2/3, infinito)
El rango es el dominio de la función inversa, pero cuando para calcular la inversa se tiene que elevar al cuadrado se crean situaciones muy difíciles de controlar. Luego lo mejor es usar otros métodos.
El rango será siempre positivo ya que la raíz cuadrada de al go es positiva.
La función es continua porque es la raíz cuadrada de un polinomio.
La función tiene el valor 0 ya que para x=-2/3 tenemos
y = raiz (3·(-2/3) +2) = raíz(-2+2) = 0
La función tiende a infinito cuando x tiende a infinito.
Y por ser continua tiene todos los valores intermedios entre 0 y cualquier número por grande que sea.
Luego Rango f =[0, infinito)
