Encontrar el valor de dos constantes en una igualdad (álgebra)
Encuentre el valor de las constantes p y que tal que
$$\begin{align}&\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{p}+2p}=\frac{2\sqrt{p}-q}{3p+q}\;,\;p,q\geq0\end{align}$$Mi estrategia ha sido igualar númerador con númerador y denominador con denominador para que se cumpliese la igualdad, obteniendo así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Pero obtengo la solución trivial.
He probado también quitando los denominadores:
$$\begin{align}&\sqrt{p}(3p+q)=(\sqrt{p}+2p)(2\sqrt{p}-q)\end{align}$$Y siguiendo la misma estrategia llego a la solución p = 0 y a q = q
No sé si es posible encontrar otra solución diferente.
1 Respuesta
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¡Hola Javiabelo!
La solución p=0 no sirve ya que tendrás 0/0 en el lado izquierdo
$$\begin{align}&\frac{\sqrt p}{\sqrt p + 2p}=\frac{2 \sqrt p-q}{3p+q}\\&\\&\sqrt p(3p+q)=(2 \sqrt p-q)(\sqrt p+2p)\\&\\&3p \sqrt p + q \sqrt p =2p+4p \sqrt p-q \sqrt p-2pq\\&\\&-p \sqrt p+2q \sqrt p=2p-2pq\\&\\&(2q-p)\sqrt p=2p-2pq\\&\\&2q-p = 2 \sqrt p-2 \sqrt p \;q\\&\\&2q + 2 \sqrt p \;q = p+2 \sqrt p\\&\\&q(2+2 \sqrt p) = p+2 \sqrt p\\&\\&q= \frac{p+2 \sqrt p}{2+2 \sqrt p}\end{align}$$Y con esa fórmula tú das valores a p y tienes los correspondientes de q. No tomes precisamente p=0 porque para ese valor no está definida la igualdad.
Vamos a comprobar, si tomamos p=1
$$\begin{align}&p=1\\&\\&q= \frac{1+2 \sqrt 1}{2+2 \sqrt 1}=\frac 34\\&\\&\text {Veamos si cumplen la ecuación inicial}\\&\\&\frac{\sqrt 1}{\sqrt 1+2·1}= \frac 13\\&\\&\frac{2 \sqrt 1-\frac 34}{3·1+\frac 34}=\frac{\frac 54}{\frac {15}4}=\frac 13\end{align}$$:
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¡Gracias por la respuesta!
Siguiendo tu forma de resolverlo llegaríamos a la solución de que:
$$\begin{align}&p=(0,+\infty)\\&q=(0,+\infty)\end{align}$$O más bien sería algo como:
$$\begin{align}&q=\lambda\\&p=\frac{\lambda\sqrt\lambda+2\lambda}{2\sqrt\lambda+2\lambda}\\\\&siendo\;\lambda\epsilon\mathbb{R}\end{align}$$Yo creo que la segunda es la forma correcta de expresarlo, ¿verdad?
Sí, porque la función que yo he calculado q(p) es continua, q(0)=0, y el límite cuando p tiende a infinito es infinito, luego toma todos los valores intermedios entre 0 e infinito. El punto (0,0) no se puede tomar porque aunque sirva para esa función no sirve para la ecuación que nos dan al principio.
La forma paramétrica que has puesto no está bien ya que nos dicen p, q>=0, aparte no sé si está bien calculada, la que calculé yo es esta:
$$\begin{align}&p=\lambda\\&q=\frac{\lambda+2 \sqrt\lambda}{2+2 \sqrt\lambda}\\\\&siendo\;\lambda\in (0,\infty)\end{align}$$Y para calcular la que escribes tú haría falta despejar la p, cosa que es bastante más difícil.
Saludos.
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