Solución homogénea de la ecuación y'' + 4y' + 5y = 4e^(-2x)cosx
Quisiera que me ayuden a obtener la solución homogénea de la siguiente ecuación:
y'' + 4y' + 5y = 4e^(-2x)cosx
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Oli!
La solución general de la homogénea es lo más sencillo. Tomamos la ecuación caraterística, sustituyendo y'' por k^2, y' por k, y por 1
k^2 + 4k + 5 = 0
Desde varios kilómetros de distancia se ve que va a tener soluciones complejas. La teoría te dice como es la respuesta en los casos de dos soluciones reales, una real doble, o ninguna real.
$$\begin{align}&x=\frac{-4\pm \sqrt{16-20}}{2}=-2\pm i\\&\\&\text{Para complejas dice que si las respuestas son}\\&\alpha \pm \beta i\\&\text {entonces la solución general de la homogénea es}\\&\\&e^{\alpha x}(C_1·\cos\beta x+C_2·sen \beta x)\\&\\&\text{Luego en este caso es:}\\&\\&y_h=e^{-2x}(C_1·\cos x+C_2·sen\,x)\end{align}$$Y eso es todo, espro que te sirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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