Ejercicio 1. Si un tanque contiene 5000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque en 40 min.
Entonces la ley de Torricelli da el volumen (V) de agua que queda en el tanque después de (t) minutos como:
v=5000(1-(t/40))^2 0<= t <= 40
Encuentra la razón de drenado después de
5min y 20min
¿En qué momento fluye más rápido el agua hacia afuera?
¿Con mayor lentitud?
2 respuestas
Hoy si que están claros los paréntesis!.
La razón de drenado es la velocidad con que sale el agua en cada instante.
Se calcula con la derivada:
$$\begin{align}&V(t)=5000 \Big [1-\frac{t}{40} \Big ]^2\\&\\&\frac{dV}{dt}=1000 \Big [1-\frac{t}{40} \Big ] \Big(-\frac{1}{40}\Big )=-250+6.25t\\&\\&\frac{dV}{dt} \Bigg |_{t=5}=-250+6.25(5)=-218.75 \ \ \ galones/min\\&\\&\frac{dV}{dt} \Bigg |_{t=20}=-250+6.25(20)=-125 \ \ \ galones/min\\&\\&máxima \ velocidad:\\&extremos \ relativos \Rightarrow \frac{d^2V}{dt^2} =0\\&\\&\frac{d^2V}{dt^2} =6.25 \neq0 \Rightarrow no \ hay\\&\\&\frac{dV}{dt} \Bigg |_{t=0}=-250 \ \ galones/min \\&\\&\frac{dV}{dt} \Bigg |_{t=40}=-0\ \ galones/min\\&\\&\\&\end{align}$$Fluye más rápido al principio (t=0) y más despacio al final (t=40)
Saludos;
;
;)
·
·
¡Hola Omar!
La razón de drenado es la derivada del volumen respecto del tiempo
$$\begin{align}&V(t)=5000\left(1-\frac t{40} \right)^2\\&\\&V'(t)=5000·2 \left(1-\frac t{40} \right)·\left(-\frac 1{40} \right)=\\&\\&-250\left(1-\frac t{40} \right)=-250+6.25t\\&\\&V'(5)= -250+6.25·5 = -218.75 \;galones/min\\&\\&V'(20) = -250+6.25·20 = -125 \;galones / min\\&\\&\text{La derivada es siempre creciente en [0,40]}\\&\text{Luego la razón es creciente}\\&\\&\text {Mínima razón }V'(0)= -250 \;galones /min\\&\\&\text{Máxima razón }V'(40) = -250+40·6.25= 0\; galones/min\\&\end{align}$$Lo que fluye es lo opuesto de la razón, ya que la función no dice lo que sale sino lo que queda dentro, luego al principio fluyen 250 galones/min que es lo más rápido y al final 0 galones/minuto que es lo más lento.
:
: