Ejercicio de razón de cambio : En ciertas circunstancias un rumor se esparce según la ecuación:
p(t) = 1 / (1+a.e^(-kt))
Donde (p) es la proporción de la población que se conoce en el tiempo (t) a y k son constantes positivas.
1. ¿Halle la velocidad de esparcimiento del rumor? (Creo que es derivar la función dada)
2. Grafique (p) para el caso en que con (t) en horas. Use la gráfica para estimar cuánto tiempo transcurrirá para que el 80% de la población escuche el rumor.
2 Respuestas
;)
Hola omar!
Razón de cambio es la derivada:
$$\begin{align}&\frac{dp}{dt}=\frac{0-ae^{-kt}(-k)}{(1+ae^{-kt})^2}=\frac{ake^{-kt}}{(1+ae^{-kt})^2}\end{align}$$para el apartado 2, necesitaríamos conocer el valor de las constantes k y a
Saludos
;)
;)
para el caso 2
a= 10
k= 0.5
La función es siempre creciente, ya que si te fijas en la derivada
$$\begin{align}&p'=\frac{ake^{-kt}}{(1+ae^{-kt})^2}\end{align}$$a>0
k>0
e^(-Kt) >0 (una potencia de base positiva siempre da positiva)
El denominador>0 (está al cuadrado)
Por otro lado tiene una Asíntota Horizontal en y=1
$$\begin{align}&\lim_{x \to + \infty}=\frac{1}{1+ae^{-kt}}=\frac{1}{1+e^{-\infty}}=\frac{1}{1+0}=1\\&\\&\end{align}$$Graficando con GeoGebra:
para p=0.8 ===> t=7.38 horas
Saludos
;)
;)
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¡Hola Omar!
La razón de cambio o velocidad de esparcimiento del rumor es la derivada de la función respecto del tiempo.
$$\begin{align}&\frac{d\,p(t)}{dt}\left(\frac{1}{1+ae^{-kt}} \right)=\\&\\&-\frac{1}{(1+ae^{-kt})^2}·(-ake^{-kt})=\\&\\&\frac{ake^{-kt}}{(1+ae^{-kt})^2}\end{align}$$No se puede hacer la gráfica si no conocemos los valores de a y k, dinos cuáles son.
Saludos.
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a=10
k=0.5
Hacemos la gráfica con Geogebra por ejemplo. El 80% equivale a 0.8 en proporción del rumor, entonces trazamos también la recta y=0.8 y donde corta a la curva del rumor trazamos la perpendicular al eje X para tener la estimación que en mi gráfica viene a ser 7.35 si no estoy confundido.
Ya tienes una gráfica general yo la he hecho más grande solo para apreciar mejor el valor que buscamos.
El valor real sería
$$\begin{align}&0.8=\frac{1}{1+10e^{-0.5t}}\\&\\&0.8 +8e^{-0.5t}=1\\&\\&8e^{-0.5t}= 0.2\\&\\&e^{-0.5t}=0.025\\&\\&-0.5t = ln(0.025)\\&\\&t= -\frac{ln(0.025)}{0.5}=7.37777589\end{align}$$:
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