Halla la función de densidad para variable discreta
¿Cómo encontrar la función de densidad de X y Y siendo éstas variables discretas?
1 respuesta
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¡Hola Atom!
La función de densidad en variables discretas es la probabilidad de los valores.
Al sumar esas dos variables discretas vamos a obtener una nueva cuyos valores estáran comprendidos entre 2 y 2N
Veamos de cuantas meneras se puede obtener cada valor de X+Y.
El número de pares de sumas posibles es N·N = N^2
Los pares que suman 2 solo hay uno posible, el (1,1)
Los que suman 3 son (1,2), (2,1)
Los que suman 4 son (1,3), (2,2), (3,1)
Vemos que van creciendo de 1 en 1. Pero ese crecimiento no es infinito, llegará al máximo cuando los pares sean
(1, N), (2,N-1), (3, N-2), ..., (N, 1)
y después ira decreciendo de uno en uno
(2,N), (3,N-1), ...(N,2)
(3,N) (4,N-1) ,..., (N,3)
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(N,N)
Luego tenemos que las formas favorables de obtener los valores de arriba son las de abajo
2 3 4 5 6 ... N+1 N+2 N+3 ... 2N
1 2 3 4 5 ... N N-1 N-2 .... 2 1
Podemos dar la siguiente función de probabilidad, teniendo en cuenta que para cada valor la probabilidad son los casos favorables entre los posibles
P(k) = (k-1) / N^2 si k <= N+1
(2N+1-k) / N^2 si k > N+1
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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.
Es posible que la página elemine espacios en blanco y queden la cosas desalineadas e incomprensibles, no es culpa mía que lo he dejado todo muy bien.
Saludos.
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Milagro, lo ha dejado bien.
en esta ocasión también se debe de cumplir que es uno verdad ?
Si, la suma de las probabilidades de todos los elementos de una varible aleatoria debe ser 1.
En este caso decíamos que la variable tomaba valores entre 2 y 2N
Decíamos
P(k) = (k-1) / N^2 si k <= N+1
(2N+1-k) / N^2 si k > N+1
Luego la suma de los numeradores para los primeros es
1+2+3+...+ (N+1-1) = 1+2+3+...+N = N(N+1)/2
Y para los segundos el primero es
2N+1-N-2 = N-1
el segundo
2N+1-N-3 = N-2
y asi decrecen de 1 en 1 hasta el último que es
2N+1-2N = 1
La suma de estos segundos es
1+2+...+N-1 = (N-1) (1+N-1) = 2 = N(N-1) / 2
Y la suma conjunta es
N(N+1)/2 + N(N-1)/2 = (N/2)(N+1+N-1) = (N/2)·2N= N^2
Y como hay un N^2 siempre en el denominador de todas que no he puesto para no liarlo más la suma de probabilidades es N^2/N^2=1
Saludos.
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