Aplicaciones de la transformada de Laplace
Hola profe me podría ayudar para resolver este problema.
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¡Hola Gregorio!
a) La teoría dice que si una función es de orden exponencial tiene tranformada de Laplace. Para ello deben existir dos constantes M y c tales que
|f(t)| <= M·e^(ct)
En este caso si tomamos M=c=1, f=g tendríamos
|g(t)|<= e^t
Y eso es completamente cierto si miras la gráfica de e^x lo verás.
0 < e^t para todo t <3
t < e^t para todo t >=3
Luego existe la transformada de Laplace.
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b)
Aplicamos la fórmula
$$\begin{align}&F(s)=\mathcal L \{g(t)\}=\int_0^{\infty}e^{-st}g(t) dt=\\&\\&\int_0^3 e^{-st}·0dt+\int_{3}^{\infty}e^{-st}·t\;dt=\\&\\&0+\int_{3}^{\infty}e^{-st}·t\;dt=\\&\\&u=t\qquad\qquad du=dt\\&dv=e^{-st}dt\quad \;v=-\frac{1}se^{-st}\\&\\&=-\frac{te^{-st}}{s}\bigg|_3^{\infty}+\frac 1s\int_3^{\infty}e^{-st}dt=\\&\\&0+\frac {3 e^{-3s}}{s}-\frac{1}{s^2}e^{-st}\bigg|_3^{\infty}=\\&\\&\frac {3 e^{-3s}}{s}-0+\frac{1}{s^2}e^{-3s}=\\&\\&\left(\frac 3s+\frac 1{s^2} \right)e^{-3s}\end{align}$$c)
El segundo teorema de traslación dice
$$\begin{align}&\mathcal L\{f(t-a)·u(t-a)\}=F(s)·e^{-as}\\&\\&\text{En nuestra g(t) el escalon está en t=3, sería}\\&\\&\mathcal L\{g(t)\}=\mathcal L\{(t+3-3)·u(t-3)=F(s)·e^{-3s}\\&\\&\text{Y esa F(s) es la transformada de (t+3)}\\&\\&\text{supongo que esta vez nos dejan usar las tablas}\\&\\&F(s) = \frac 1{s^2}+\frac{3}s\\&\\&\text{Por lo tanto }\\&\\&\mathcal L\{ g(t) \}=F(s)·e^{-3s}=\left(\frac 1{s^2}+\frac{3}s \right)e^{-3s}\\&\\&\end{align}$$d)
La conclusión es que el resultado de la transformada es el mismo. Es lo que dice el teorema, si hubiera sido distinto habríamos hecho algo mal.
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2)
Yo no sé lo que querrán decir con aplicación real. Si tú tienes la teoría a lo mejor te viene algo. La transformada de Laplace se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Y eso se usa en multitud de campos de la física, ingeniería y más cosas. Yo no soy el que sepà mucho de esto.
Y eso es todo, saludos.
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