Resolver las siguientes ejercicios de ecuaciones diferenciales
Como resuelvo este ejercicio
2 Respuestas
·
·
¡Hola Oscar!
Es una ecuación de variables separadas
$$\begin{align}&(1+x^3)\frac{dy}{dx}= 3x^2y\\&\\&\frac{dy}{y}=\frac{3x^2}{1+x^3}dx\\&\\&\text{Integramos en ambos lados}\\&\\&\int \frac{dy}{y}=\int \frac{3x^2}{1+x^3}dx\\&\\&\text{Son integrales inmediatas o casi}\\&\\&ln\,y = ln(1+x^3)+ ln\;C\\&\\&\text{Poner ln C en lugar de C es un truco}\\&\text{que se usa en estas ecuaciones con ln}\\&\\&ln \,y=Ln[C(1+x^3)]\\&\\&y = C(1+x^3)\\&\end{align}$$:
:
.
.
No sé si sabías, Oscar, que fue Leibniz (1646-1716) a quien se le ocurrió tratar las dos expresiones "dx" y "dy" como "cantidades infinitesimales".
No vamos a discutir aquí la idea de "infinitesimal", mas -eso sí- quédate con la idea de "cantidad". Por lo tanto si tratas como "cantidades" a ambas expresiones tendrás:
(1+x³) (dy/dx) = 3 x² y
Pasas "multiplicando" dx:
(1+x³) dy = 3 x² y dx
Y dividiendo "1+x³" tanto como "y":
dy / y = 3 x² dx / (1+x³)
¿Entiendes lo obtenido?... Dos expresiones (a uno y otro lado del signo igual) que pueden integrarse por separado, resultando:
Ln(y) = (1/3) * Ln(1 + x³) + D
Lo que podemos escribir como:
3 Ln(y) = Ln(1 + x³) + K
Del mismo modo que:
Ln(y³) = Ln[C * (1 + x³)]
De donde deducimos muy rápidamente:
y³ = C * (1+x³)
Que es la solución buscada.
.
.
.
.
Sorry... ¡Se me fue un "3" de más!
De modo que tras integrar quedará:
Ln(y) = Ln(1 + x³) + D
Lo que podemos escribir como:
Ln(y) = Ln[C * (1 + x³)]
De donde deducimos muy rápidamente:
y = C * (1+x³)
Que es la solución buscada (ahora sí).
.